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Lösungen zu meinen Aufgaben

Schüler

Tags: Aufgaben, Erwartungswert, Lösung, zufallsvariable X

fendtfarmer4you aktiv_icon

21:20 Uhr, 14.05.2011

hallo,
Ich habe in meinem Buch ein paar Aufgaben gefunden, die ich gerne auf die Klassenarbeit lernen möchte. Nur kann ich meine Lösungen so nicht überprüfen. Deshalb fände ich es nett, wenn ihr mit stichwortartig kurz den weg zur lösung der folgenden Aufgaben mitteilit, und natürlich die Lösung selbst.

Danke im Vorraus!

Erwartungswert einer Zufallsvariable:

X :

Zufallsvariable

X 1,

x2,… Werte der Zufallsvariable

P (X = x 1);

P(X=x2);…
Wahrscheinlichkeiten der Zufallsvariablen

X :

Erwartungswert:

P (X = x 1)

„mal“

x 1 + P (X = x 2)

„mal“

x 2 +

…

1)

Aus einer Urne mit den 4 Kugeln:

- 2, 10, 20, - 1

werden ohne zurücklegen drei Kugeln gezogen und die aufgedruckten Zahlen miteinander multipliziert. Das Ergebnis in Cent muss man bei negativem Vorzeichen bezahlen, bzw. erhält es bei positivem Vorzeichen ausbezahlt. Wie groß ist der Erwartungswert für die Zufallsvariable „Gewinn“?

2)

Ein Medikament heilt erfahrungsgemäß eine Krankheit in

80 %

aller Fälle. Drei Patienten werden damit behandelt. Wie viele geheilte Patienten sind zu erwarten? Rechne auf 2 Arten!

3)

Bei den Eishockey-Play-offs spielen 2 Mannschaften so oft gegeneinander, bis eine der beiden drei Spiele für sich entschieden hat. Mit wie vielen Spielen ist im Mittel zu rechnen, wenn man davon ausgeht, dass beide Mannschaften gleich stark sind?

4)

Für eine Haftpflichtversicherung ist es wichtig auszuwerten, wie viele Schadensfälle pro Versichertem auftreten. Die Erfahrung der letzten Jahre hat gezeigt, dass pro Jahr

80 %

der Versicherten keinen Schaden gemeldet hatten.

15 %

meldeten einen,

3 %

zwei,

1 %

meldete drei und

1 %

vier Schadensfälle an. Mit wie vielen Schadensfällen muss die Versicherung im nächsten Jahr pro versichertem im Durchschnitt rechnen?

5)

Beim Schulfest werden Lose zum Verkauf angeboten, von denen

30 %

Gewinne und

70 %

Nieten sind. Daniel will so oft ein Los kaufen, bis er eines erwischt, mit dem er gewinnt. Mit welcher Ausgabe muss er im Mittel rechnen, wenn jedes Los

50

Cent kostet und wenn er

a)

Höchstens vier Lose kauft?

b)

Höchstens sechs Lose kauft?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ericsatie76 aktiv_icon

22:15 Uhr, 14.05.2011

1)

Erwartungswert ist im Prinzip der Mittelwert:

E (X) = \sum P (x) \cdot x

(diskreter Fall)

E (X) = \int P (x) \cdot x d x

(sonst)

Ich nummeriere die Kugeln durch

Für jede Kombination des Ziehens gilt

P (ω) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

Gewinne:

Es müssen auf jeden Fall beide negativen Zahlen gezogen werden, da bei drei Ziehungen und zwei positiven und zwei negativen Zahlenwerten auf den Kugeln mindestens eine negative gezogen wird.

Daher gibt es die Möglichkeiten:

- 2, - 1,10

und

- 2, - 1,20

Es gibt folgenden Anordnungsmöglichkeiten

f + r ω_{1}

{- 2, - 1,10}

sie zu ziehen:

- 2, - 1,10

- 2,10, - 1

- 1, - 2,10

- 1,10, - 2

10, - 1, - 2

10, - 1, - 2

\Rightarrow

3!-Möglichkeiten, dasselbe gilt auch für die Kombination

ω_{2} = {- 2, - 1,20}

P (ω_{1}) = P (ω_{2}) = 3! \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}

E(X="Gewinn")

= 20 \cdot \frac{1}{4} + 40 \cdot \frac{1}{4} = 5 + 10 = 15

Lg Jan

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