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Lösungsansatz für eine Knobelaufgabe

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Knobelaufgabe, Sonstiges

fillcolin aktiv_icon

00:04 Uhr, 10.10.2009

Hey
Ich löse immer sehr gern Knobelaufgaben und suche immer im Net nach etwas neues, wobei ich meistens nicht so gut bin;-)

Nun habe ich mal wieder eine gefunden, bei der ich einfach nicht weiter komme!!! Und das wurmt mich schon die ganze Zeit...

Es wäre echt super wenn mir eventuell jm. helfen könnte. Ich möchte keine Lösung aber gerne 1 oder 2 Tipps, bez. einen Ansatz das ich eventuell selber darauf komme.

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„In diesem Satz kommt
die Zahl 0 x0-mal,
die Zahl 1 x1-mal,
die Zahl 2 x2-mal,
die Zahl 3 x3-mal,
die Zahl 4 x4-mal,
die Zahl 5 x5-mal,
die Zahl 6 x6-mal,
die Zahl 7 x7-mal,
die Zahl 8 x8-mal und
die Zahl 9 x9-mal
vor.“
Die Platzhalter

x 0

bis

x 9

stehen für Ziffern (also ganze Zahlen zwischen 0 und

9)

. Sie sind so
zu ersetzen, dass der Satz stimmt.

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Wenn es weiter noch interessiert!!

Ich habe schon einige Versuche gemacht, die aber nicht Zielführend waren.
So habe ich jedes

x (0 - 9)

zuerst mit einer 1 ersetzt, da ja jede Zahl einmal vorkommt und dann bei der Zahl 1 das

x 1

durch die Summen der 1zen ersetzt .Hier taucht schon das erst Problem auf da ich ja nur Zahlen von

0 - 9

nehmen darf.

die Zahl 0 1-mal,
die Zahl 1 10-mal,
die Zahl 2 1-mal,
die Zahl 3 1-mal,
die Zahl 4 1-mal,
die Zahl 5 1-mal,
die Zahl 6 1-mal,
die Zahl 7 1-mal,
die Zahl 8 1-mal,
die Zahl 9 1-mal,

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

Anderer Versuch

Ich arbeite den satz wie ein Compiler einen Programmiertext ab, also von oben nach unten schrittweiße, und schreibe dann halt nach jedem schritt das Ergebnis. Wenn ich unten angelangt bin, gehe ich wie in einer Wihle Schleife vor und beginne von vorne. Ich weiß aber nicht ob diese Vorgehensweiße Matematisch korrekt wäre?! Weil ich ja Nebenbedingungen definieren muß?!

die Zahl 0 x0-mal, suche 0 im Satz

= 1

=die Zahl 0 1-mal,
die Zahl 1 x1-mal, suche 1 im Satz

= 2

=die Zahl 1 2-mal,
die Zahl 2 x2-mal, suche 2 im Satz

= 2

=die Zahl 2 2-mal,
die Zahl 3 x3-mal, suche 3 im Satz

= 1

=die Zahl 3 1-mal,
die Zahl 4 x4-mal, suche 4 im Satz

= 1

=die Zahl 4 1-mal,
die Zahl 5 x5-mal, suche 5 im Satz

= 1

=die Zahl 5 1-mal,
die Zahl 6 x6-mal, suche 6 im Satz

= 1

=die Zahl 6 1-mal,
die Zahl 7 x7-mal, suche 7 im Satz

= 1

=die Zahl 7 1-mal,
die Zahl 8 x8-mal, suche 8 im Satz

= 1

=die Zahl 8 1-mal,
die Zahl 9 x9-mal, suche 9 im Satz

= 1

=die Zahl 9 1-mal,

Dann folgt die While-schleife

=die Zahl 0 1-mal, suche 0 im Satz

= 1

=die Zahl 0 1-mal,
=die Zahl 1 2-mal, suche 1 im Satz

= 9

=die Zahl 1 9-mal,
=die Zahl 2 2-mal, suche 2 im Satz

= 2

=die Zahl 2 2-mal,
=die Zahl 3 1-mal, suche 3 im Satz

= 1

=die Zahl 3 1-mal,
=die Zahl 4 1-mal, suche 4 im Satz

= 1

=die Zahl 4 1-mal,
=die Zahl 5 1-mal, suche 5 im Satz

= 1

=die Zahl 5 1-mal,
=die Zahl 6 1-mal, suche 6 im Satz

= 1

=die Zahl 6 1-mal,
=die Zahl 7 1-mal, suche 7 im Satz

= 1

=die Zahl 7 1-mal,
=die Zahl 8 1-mal, suche 8 im Satz

= 1

=die Zahl 8 1-mal,
=die Zahl 9 1-mal, suche 9 im Satz

= 2

=die Zahl 9 2-mal,

also wenn ich das weit genug mache, stellt es sich auch irgendwann ein und ich habe ein Endergebnis.

Ist dies aber nun auch korrekt?!

Also wer mir eventuell ein paar Zeilen schreiben möchte, würde mich sehr Freuen

Mathematische Grüße an alle

Philipp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

00:26 Uhr, 10.10.2009

Das ist ja wirklich zum wahnsinnigwerden, dieses Spiel!

Jedes mal, wenn man einen Wert korrigiert, um eine Unstimmigkeit zu beheben, erzeugt man zwei neue Ungereimtheiten ...

... ich werde das Rätsel mal "überschlafen"

fillcolin aktiv_icon

09:35 Uhr, 10.10.2009

So....:(
Hier der Versuch von Oben nach unten alles zu bearbeiten und dann die Zahlen ersetzen.

Habe eine Exel tabelle angehengt.....

1. das Funktioniert soweit ganz gut, ich hoffte, dass eventuell durch eine Optische visuallisierung irgendwelche Muster erkennbar sind, aus denen man dan eine Formel herleiten könnte.

2.Leider vergebens, da sich das ganze irgendwann in einem Pendelmodus bewegt und nur noch zwischen 2 Möglichkeiten bewegt

3.Versuchte durch "auf mich wirken lassen" *lach*, irgendwelche Fixierungen zu erreichen. bei denen man sagen kann sie bleiben weiterhin so
wie

z . B

.
"0 kann nur einmal erscheinen, da jede Zahl schon erwähnt ist"= immer 1
"9 kann nur einmal erscheinen, da 0 ja schon immer 1 ist" = immer 1
Aber so komm ich auch nicht weiter.....

M . m . G

Philipp

Photon aktiv_icon

13:34 Uhr, 10.10.2009

Geniales Rätsel, der heutige Tag ist wieder gerettet. :-D) Ich hab keine Lösung, aber einen Ansatz: Fangen wir doch mit weniger Zuordnungen an! Soll

n

für die größte Zahl in der linken Spalte stehen.

n = 0 :

0 \Rightarrow 1

Passt.

n = 1 :

0 \Rightarrow 1

1 \Rightarrow 2

Passt.

n = 2 :

0 \Rightarrow 1

1 \Rightarrow 2

2 \Rightarrow 2

Fehler

0 \Rightarrow 1

1 \Rightarrow 2

2 \Rightarrow 3

Fehler

0 \Rightarrow 1

1 \Rightarrow 3

2 \Rightarrow 1

Passt

Wir merken: Bei der Null steht immer eine Eins (logisch). Außerdem steht bei der 1 immer mindestens eine

2,

wobei in diesem Fall sogar eine 3 zur Lösung geführt hat.

n = 3 :

(gleich mal eine richtige Variante)

0 \Rightarrow 1

1 \Rightarrow 3

2 \Rightarrow 1

3 \Rightarrow 3

Beobachtung: In den richtigen Versionen kamen bis auf

n = 1

immer nur Einser und Dreier in der rechten Spalte vor. Kann aber auch nur ein Zufall gewesen sein.

Frage: War die Lösung für

n = 3

die einzige richtige Lösung oder gibt es noch eine?

\Rightarrow

edit: Hat sich erledigt, es gibt noch eine:

0 \Rightarrow 1

1 \Rightarrow 2

2 \Rightarrow 3

3 \Rightarrow 2

Somit folgende Beobachtung: Die Summe der Zahlen in der rechten Spalte ist bei

n = 3

immer

8,

also

2^{n}

. Das gilt auch für

n = 2

und

n = 0,

nur bei

n = 1

wieder eine Ausnahme...

\Rightarrow

edit4: Vermutung war total daneben. Die Summe der rechten Spalte muss natürlich soviel betragen, wie Ziffern in der gesamten Tabelle, also

2 (n + 1)

. Das gilt natürlich nur dann, wenn das Problem mit Zahlen unter

n

gelöst wurde!

Ich mach mich mal an

n = 4

und wünsche allen viel Erfolg beim Knobeln. :-)

edit2: Man beachte, dass außer bei

n = 3

überall in der rechten Spalte Zahlen, die größer als das jeweilige

n

sind, nötig waren.

edit3: Auch für

n = 4

sehe ich keine Lösung innerhalb von

n,

nur sowas:

0 \Rightarrow 1

1 \Rightarrow 5

2 \Rightarrow 1

3 \Rightarrow 1

4 \Rightarrow 1

edit5: Ich hab ein paar Gleichungen aufgestellt, die das Ganze mathematisch beschreiben. Aber keine Ahnung, wie man sie lösen soll.

k_{i}

Bezeichnet die Häufigkeit der Zahl

i

in der rechten Spalte.

r_{i}

bezeichnet die Häufigkeit der Zahl

i

in der gesamten Tabelle. Da jede Zahl

i

in der linken Spalte genau einmal vorkommt, gilt für alle

i :

r_{i} = k_{i} + 1 \Rightarrow (1)

Außerdem gilt, dass die Summe der Zahlen in der rechten Spalte

2 (n + 1)

betragen muss (siehe edit4). Also:

\sum_{i = 1}^{n} r_{i} = 2 (n + 1) \Rightarrow (2)

Und jetzt schauen wir uns die Zahlen

k_{i}

nochmal an. Sie geben ja an, wie oft eine Zahl in der rechten Spalte vorkommt. Die Summe der Zahlen in der rechten Spalte muss aber nach (2)

2 (n + 1)

betragen. Das heißt

k_{0}

mal die

0, k_{1}

mal die

1,

usw. Es gilt also:

\sum_{i = 1}^{n} k_{i} \cdot i = 2 (n + 1) \Rightarrow (3)

Bleibt nur noch, die Dinger für

n = 10

zu lösen. :-)

edit6: Erwartungsgemäß lassen sich die Gleichungen ab

n = 3

nicht mehr eindeutig lösen (deswegen waren auch mehrere richtige Lösungen für

n = 3

möglich). Für

n = 10

seh ich also schwarz, die Gleichungen bringen nur eine Einschränkung.

: (

edit7: Für

n = 3

hab ich die Gleichungen gelöst und es stellt sich heraus, dass die beiden vorgeschlagenen Lösungen die einzigen sind. Auf zu

n = 4

. :-)

fillcolin aktiv_icon

15:14 Uhr, 10.10.2009

Fragt mich nicht wie, aber ich habe es.

0 = 1

1 = 7

2 = 3

3 = 2

4 = 1

5 = 1

6 = 1

7 = 2

8 = 1

9 = 1

Vorgegangen wie folgt

0 = 1

1 = 4

2 = 1

3 = 1

dann...weitermachen bis 8

0 = 1

1 = 9

2 = 1

3 = 1

4 = 1

5 = 1

6 = 1

7 = 1

8 = 1

und nun das Problem mit der

10

0 = 1

1 = 10

2 = 1

3 = 1

4 = 1

5 = 1

6 = 1

7 = 1

8 = 1

9 = 1

Ab hier versuchen die

10

durch eine Größt und kleinst mögliche Zahl zu ersetzen
also versuchen wir die 9 anstelle

10,

bleibt ein rest von

1,

der addiert sich automatisch bei

n = 9

dazu hier entsteht eine

2,

nur muß wieder eine korrektu bei der 2 vorgenommen werden da diese ja nun 2 mal vorkommt und bei der eins die wieder um um 1 erniederigt wird, und bei

n = 1

kommt nun eine acht.
Dieses ausgleichspiel Treiben wir nun noch 2 mal bis wir bei 7 sind und schwups passt es

0 = 1.1

1 = 10.9.8.8.7

2 = 1 ... . 2.3.3

3 = 1 ... ... . . 2

4 = 1 ... ... . . 1

5 = 1 ... ... . . 1

6 = 1 ... ... . . 1

7 = 1 ... ... . . 2

8 = 1 ... ... 2.1

9 = 1 . . 2.1.1.1

Das einzigste was mich nun wurmt, ist das ich es nur durch probieren hin bekommen habe und nicht durch eine eventuel vorhandene Formel

grüße

Photon aktiv_icon

15:45 Uhr, 10.10.2009

Vielleicht um die Formeln etwas zu vereinfachen:

\sum_{i = 1}^{n} k_{i} = n + 1

\sum_{i = 1}^{n} i \cdot k_{i} = 2 (n + 1)

für

i, k_{i}, n \in ℕ;

alle

k_{i} + 1 \leq n

maxsymca

16:27 Uhr, 10.10.2009

Hm, eine Rekursionsformel in Excel macht ein Ergebnis wie von selbst

0, 1

1, 7

2, 3

3, 2

4, 1

5, 1

6, 1

7, 2

8, 1

9, 1

INteressant wäre die Frage, wie viele Lösungen es gibt...

OmegaPirat

20:46 Uhr, 10.10.2009

also allgemein hat man für

n > 5

immer eine lösung gegeben durch

0 ... . 1

1 ... . n - 2

2 ... . 3

3 ... . 2

4 ... . 1

5 ... . 1

.
.
.

n - 2 ... 2

n - 1 ... 1

n ... 1

man sieht leicht, dass für

n > 5

die bedingung damit erfüllt ist.

Was noch ausbleibt ist zu zeigen, wie viele Lösungen es tatsächlich gibt oder ob vielleicht obige lösunge die einzig mögliche ist.

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