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Lösungsgesamtheit Differentialgleichung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Trennung der Variablen

ACAndre aktiv_icon

12:40 Uhr, 19.08.2015

Hallo,

für die Differentialgleichungsklausur haben wir verschiedene Typen an DGls. Um diese lösen zu können habe ich folgende Übersicht der Uni Stuttgart gefunden (Anhang).

In dieser Übersicht würden nur die sepereablen und Bernoulli DGLs fehlen oder?
Die Ansätze für verschiedenen Störfunktionen habe ich ebenfalls im Anhang.

Kann ich mich anhand dieser Übersicht orientieren und auf die Klausur vorbereiten (dürften diese mit in die Klausur nehmen) oder fehlt gar noch etwas?

----

ich sitze gerade an den beiden Aufgaben.

Meine Überlegung zur Lösung:
Tabelle: -> nicht konstannte Koeffizienten
mit Trennung der Variablen.
Ist es das richtige Verfahren? Leider hänge ich mich beim Trennen auf und habe dort stehen:

dy/dt=-(1/t)y+1/t² |t²
t²*dy/dt=-(1/t)t²y+1
t²dy/dt=-ty+1
t²dy/dt-1/t=-y

jetzt weiß ich nicht wie ich fortfahren soll....

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:56 Uhr, 19.08.2015

Hallo,

bringe den Term

\frac{1}{t} y

auf die andere Seite und multipliziere mit

t

. Erkenne dann links den Term einer Ableitung nach Produktregel. Integriere beide Seiten dementsprechend, vergiss die Integrationskonstante nicht und löse schließlich nach

y

auf.

MFG Michael

ledum aktiv_icon

13:19 Uhr, 19.08.2015

Hallo
micha's Idee ist auch gut, aber du willst ja gerne Rezepte und in einer Klausur hat man lieber so was.
Was du falsch machst:
in deiner Aufstellung fehlen lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten (auch mit höheren Ableitungen) inhomogene und homogene lin Dgl. erster Ordnung.
mit Separation der Konstanten kann man nur die homogene lineare Dgl lösen, das sollte bei deinen Regeln stehen!
also hier

y' = - \frac{1}{t} \cdot y

daraus

y = \frac{C}{t}

jetzt partikuläre Lösung raten, oder in Tabelle finden hier ist einfacher Variation der Konstanten.
Dasselbe gilt für deine 2 te Dgl erst homogene dann part. Lösung dei inh. addieren.
Gruss ledum

ACAndre aktiv_icon

14:36 Uhr, 19.08.2015

Also ich suche mir die homogene Lösung:
Beispiel 1:

y' = (- \frac{1}{t}) \cdot y

dann Trennung der Variablen:

\frac{d y}{d t} = (- \frac{1}{t}) \cdot y

y = \frac{c}{t}

dann habe ich noch das Glied für die partikuläre Lösung

\frac{1}{t^{2}} \to

Da gucke ich in der Tabelle für Störfunktionen nach?

jetzt sehe ich da nur

x^{2} - 4 x + 3

.
Kann ich

\frac{1}{t^{2}}

t^{- 2}

umschreiben und den gleichen Ansatz nehmen? Wahrscheinlich eher nicht oder?

edit//
bzw. du sagst, dass ich die variation der konstanten nehmen kann.
dann hätte ich meine allgemeine homogene Lösung mit :

y = \frac{c}{t}

und müsste diese ableiten, was dann

y' = - \frac{c}{t^{2}}

ist

Konstante wird zu Funktion

y' = - \frac{f (t)}{t^{2}}

einsetzen:

- \frac{f (t)}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot (\frac{f (t)}{t}) = \frac{1}{t^{2}}

\Leftrightarrow 0 = \frac{1}{t^{2}}

?! | müsste hier nicht normalerweise die Ableitung stehen bleiben, damit ich dann das unbestimmte Integral bilden kann und meine Lösung erhalte, die ich dann zu meiner homogenen Lösung addiere?!

VG

...und setze dann für die allgemeine Lösung die homogene und partikuläre Lösung zusammen?

Beispiel 2:
wäre die homogene:

y' = (tan (t) \cdot y)

und wieder Trennung der Variablen?

für die partikuläre muss man dieses Glied beachten:

cos (t)

michaL aktiv_icon

19:04 Uhr, 19.08.2015

Hallo,

also, mit meinem Tipp ist das eine Sache weniger Schritte:

y ʹ = - \frac{1}{t} y + \frac{1}{t^{2}} \overset{}{\Leftrightarrow} y ʹ t + y = (t y) ʹ = \frac{1}{t} \overset{}{\Leftrightarrow} t y = \ln (t) + c \overset{}{\Leftrightarrow} y = \frac{\ln (t) + c}{t}

.

Diese Art der Lösung ist für DGLn der Form

f (t) y ʹ + f ʹ (t) y = Q ʹ (t)

hilfreich. Dieser Art ist übrigens auch deine nächste DGL. Zeige doch einfach, dass du diese Lösungsmethode "hinbekommst".

Die Lösungsmethode ist auch für DGLn der Form

f (t) y ʹ ⊖ f ʹ (t) y = (f (t))^{2} \cdot Q ʹ (t)

möglich, nur muss man dann eben die Quotientenregel anwenden. :-)

Mfg Michael

ACAndre aktiv_icon

21:17 Uhr, 19.08.2015

Danke MichaL,

ich kann deine Rechnung fast nachvollziehen....

y' = - \frac{1}{t} y + \frac{1}{t^{2}}

y' t + y = (t y') = \frac{1}{t} | + \frac{1}{t} y

und

\cdot t

wieso/weshalb setzt du

(t y)' = \frac{1}{t}

? verstehe nicht ganz wieso

y' t + y

(t y)'

wird...

t y = ln (t) + c |

dann davon also

(t y)' =

y'Integral gebildet

y = \frac{ln (t) + C}{t} \frac{|}{t}

also nach

y

auflösen

michaL aktiv_icon

22:09 Uhr, 19.08.2015

Hallo,

seufz, offenbar muss man dir die Dinge mehrfach sagen...

Du fragst:
> wieso/weshalb setzt du

(t y)' = \frac{1}{t}

? verstehe nicht ganz wieso

y' t + y

(t y)'

wird...

Zur zweiten Frage: Rechne doch

(t y) ʹ

gemäß Produktregel mal aus!

Zur ersten Frage: Forme die Ausgangsgleichung doch gemäß
> bringe den Term

\frac{1}{t} y

auf die andere Seite und multipliziere mit

t

um.
Und weiter
> Erkenne dann links den Term einer Ableitung nach Produktregel.
(Erklärt die zweite Frage.)

Mfg Michael

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