Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lösungsmenge für Gleichung mit Komplexen Zahlen

Lösungsmenge für Gleichung mit Komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Gleichung., Komplexe Zahlen, Lösungsmenge

ppap187 aktiv_icon

22:03 Uhr, 04.01.2022

Moin Leute :-),

Ich habe hier eine Aufgabe bei Mathe 1:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung

- z^{2} + 10 i z + 10 z - 38 i - 5 = 0

.

Es wird auch ein Tipp mitgeliefert:

Verwenden Sie für die Lösung der Gleichung

w^{2} = D

den Ansatz

w = a + b i

mit

a, b \in ℝ

und leiten Sie zwei Gleichungen für

a, b

her. Lösen Sie eine Gleichung nach einer Variable auf und setzen Sie diese in die andere ein.

... ... ...

.

Diesen Ansatz mit

w^{2} = D

kenne ich prinzipiell schon, aber ich weiß nicht so ganz wo man den hier anwenden kann. Das macht man doch üblicherweise, wenn man sowas in der Art hat

2 x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0,

so, dass man dann eine neue Variable

D = : x^{2}

einführt um das ganze mit der Mitternachtsformel lösen zu können. Egal ob ich hier in

z, a + i b

einsetze oder sonst was versuche.

Ich glaub ich bin ganz auf der falschen Fährte. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Könnte es sein, dass

z

hier gar keine Komplexe Zahl darstellen soll?

Vielen Dank schon mal im Voraus,
ppap187

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

N8eule

22:21 Uhr, 04.01.2022

z

wird eine komplexe Zahl sein,
und ich würde da nicht lange schwerfällige Tipps grübeln, sondern einfach die gemischt-quadratische Gleichung lösen.

pivot aktiv_icon

22:40 Uhr, 04.01.2022

Hallo,

wende die a-b-c-Formel auf die Gleichung an. Dazu muss die Gleichung in einen

z^{2}

-Term,

z

-Term und eine Konstante geordnet werden.

Zum Tipp: D ist hier die Diskriminante. Mit dem Tipp kannst die Wurzel der Diskriminante berechnen.

Mein erster Tipp: Gleichung mit

(- 1)

multiplizieren.

>>Könnte es sein, dass hier z gar keine Komplexe Zahl darstellen soll?<<
Doch.

Gruß
pivot

ppap187 aktiv_icon

22:46 Uhr, 04.01.2022

Schon dabei, danke schon mal für die Antworten :-)

ppap187 aktiv_icon

00:41 Uhr, 05.01.2022

Also ich habe jetzt mal die abc-Formel angewandt.

- z^{2} + 10 i z + 10 z - 38 i - 5 = 0 | 10 z

ausklammern

- z^{2} + 10 (i + 1) z - 38 i - 5 = 0

Somit sind

a_{1} = : - 1

a_{2} = : 10 (i + 1)

a_{3} = : - 38 i - 5

in die Mitternachtsformel eingesetzt:

z_{1,2} = \frac{- 10 (i + 1) \pm \sqrt{{(- 10 i - 10)}^{2} + 4 (- 38 i - 5)}}{- 2}

= \frac{- 10 (i + 1) \pm \sqrt{200 i - 152 i - 20}}{- 2}

= \frac{- 10 (i + 1) \pm \sqrt{48 i - 20}}{- 2}

Soweit ich weiß muss ich um aus einer Komplexen Zahl eine Wurzel zu ziehen, ersteinmal den Betrag und den Winkel

φ :

w = : 48 i - 20

b_{1} = : - 20

b_{2} = : 48

| w | = \sqrt{48^{2} - 20^{2}} = 52

φ_{w} =

arccos

(\frac{b_{1}}{| w |})

oder arcsin

(\frac{b_{2}}{| w |}) \Rightarrow φ_{w} =

arccos

(\frac{- 20}{52})

oder arcsin

(\frac{48}{52})

1.
arccos

(\frac{- 20}{52}) =

arccos

(\frac{- 5}{13}) = 1,965587446 ...

.

2.
arcsin

(\frac{48}{52}) =

arcsin

(\frac{12}{13}) = 1,17600520 ...

.

Da in der Aufgabe angegeben ist, man solle keine Dezimalzahlen, sondern exakte Zahlen verwenden, gehe ich davon aus, dass ich mich irgendwo verrechnet habe oder irgendwas wichtiges übersehen habe. Den Tipp mit

w^{2} = D

verstehe ich immer noch nicht ganz. Wieso brauche ich das für die Diskriminante bzw. was ist an meinem Gedankengang falsch?

Danke und sorry wenn die Fragen ein wenig blöd sind.

Respon

00:50 Uhr, 05.01.2022

Etwas kompakter

- z^{2} + 10 \cdot i \cdot z + 10 \cdot z - 38 \cdot i - 5 = 0

z^{2} - 10 \cdot z \cdot (i + 1) + 38 \cdot i + 5 = 0

z_{1,2} = 5 \cdot (i + 1) \pm \sqrt{25 \cdot {(i + 1)}^{2} - 38 \cdot i - 5}

z_{1,2} = 5 \cdot (i + 1) \pm \sqrt{12 \cdot i - 5}

Jetzt verwende den Tipp

D = w^{2} = 12 \cdot i - 5

w = a + i \cdot b

mit

a, b \in ℝ

12 \cdot i - 5 = a^{2} - b^{2} + 2 \cdot i \cdot a \cdot b

\Rightarrow

a^{2} - b^{2} = - 5

a \cdot b = 6

\Rightarrow

a_{1} = 2

und

b_{1} = 3

also

2 + 3 \cdot i

a_{2} = - 2

und

b_{2} = - 3

also

- 2 - 3 \cdot i

\Rightarrow

z_{1} = 5 \cdot (i + 1) + 2 + 3 \cdot i = 7 + 8 \cdot i

z_{2} = 5 \cdot (i + 1) - 2 - 3 \cdot i = 3 + 2 \cdot i

( Wegen der späten Stunde ausnahmsweise die komplette Lösung. )

Respon

12:43 Uhr, 05.01.2022

Übrigens

. .

.
Deine Methode hätte auch mit "schönen" Zahlen funktioniert

D = - 5 + 12 \cdot i

| - 5 + 12 \cdot i | = 13

cos (φ) = - \frac{5}{13}

Den tatsächlichen Wert von

φ

brauchst du für diesen Teil der Aufgabe nicht wirklich.
Im Verlauf der Rechnung benötigst du

cos (\frac{φ}{2})

bzw.

sin (\frac{φ}{2})

.
Verwende die folgende Identität:

cos (\frac{φ}{2}) = \sqrt{\frac{1 + cos (φ)}{2}}

cos (\frac{φ}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \frac{5}{13}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{13}}

Daraus ergibt sich mittels Trig. Pyth.

sin (\frac{φ}{2}) = \frac{3}{\sqrt{13}}

Also

w^{2} = D

w^{2} = - 5 + 12 \cdot i

\Rightarrow

w_{1} = \sqrt{13} \cdot (\frac{2}{\sqrt{13}} + i \cdot \frac{3}{\sqrt{13}}) = 2 + 3 \cdot i

w_{2}

musst du nicht "extra" berechnen.

Gerd30.1 aktiv_icon

15:06 Uhr, 05.01.2022

(- 1 + 0 j) z^{2} + (10 + 10 j) z + (- 5 - 38 j) = 0 : (- 1 + 0 j)

z^{2} + (- 10 - 10 j) z + (5 + 38 j) = 0

pq-Formel

z = 5 + 5 j \pm w

mit

w^{2} = 2 - (5 + 38 j) = - 5 + 12 j = 13 e^{1, 9655 j}

w = 3, 6055 e^{0, 9827 j} = 2 + 3 j

also

z_{1} = 7 + 8 j; z_{2} = 3 + 2 j

ppap187 aktiv_icon

19:17 Uhr, 10.01.2022

Vielen Dank Leute!
Das hat mir echt geholfen, sorry für die späte Reaktion.

1549070

1548578

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?