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Logarithmische Gleichungen

Schüler

Tags: logarithmische gleichungen

Sehrratlos aktiv_icon

19:52 Uhr, 15.02.2025

Ich brauche nochmals Hilfe bei den drei Gleichungen. Null Plan.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

mathadvisor aktiv_icon

20:34 Uhr, 15.02.2025

Benutze die Regel

\lg (a^{b}) = b \lg a

. Dies führt bei den ersten beiden Aufgaben zu einer quadratischen Gleichung in der unbekannten

u = \lg x

.
Bei der dritten logarithmiere erstmal, dann wende die genannte Regel an.
Was erhälst Du in den drei Fällen?

Randolph Esser aktiv_icon

02:04 Uhr, 16.02.2025

Zu der ersten Aufgabe:

Es gilt:

l g^{2} x - l {g x}^{3} + 2 = 0

\Leftrightarrow

l g (x^{l g x - 3}) = - 2

\Leftrightarrow

x^{l g x - 3} = \frac{1}{100} = 10^{- 2} = 100^{- 1}

.

Damit findet nun mit äffischer Schläue

die Lösungen

x = 10

und

x = 100

.

Dass das alle Lösungen sind,

müsste man noch mit einer kleinen

Kurvendiskussion zeigen,

was ich mir hier spare.

Die Lösungen wirklich explizit zu berechnen,

also die letzte Gleichung nach

x

aufzulösen,

ist, so glaube ich, aber nicht möglich.

Randolph Esser aktiv_icon

02:04 Uhr, 16.02.2025

Ahhh, doch, man kann es doch ganz klassisch ausrechnen.

Ich mach bei der letzten Gleichung weiter und

substituiere dann

x = 10^{a} :

x^{l g x - 3} = 10^{- 2}

\Leftrightarrow

10^{a (a - 3)} = 10^{- 2}

\Leftrightarrow

a (a - 3) = - 2

\Leftrightarrow

a^{2} - 3 a + 2 = 0

\Leftrightarrow

a = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 2} = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}

\Leftrightarrow

a \in {1,2}

\Leftrightarrow

x \in {10,100}

Randolph Esser aktiv_icon

03:25 Uhr, 16.02.2025

Es lohnt sich, die Substitution direkt zu machen.

Die Rechnung ist dann:

l g^{2} x - l {g x}^{3} + 2 = 0

|Sub.

x = 10^{a}

\Leftrightarrow

a^{2} - 3 a + 2 = 0

\Leftrightarrow

a = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - 2} = \frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}

\Leftrightarrow

a \in {1,2}

\Leftrightarrow

x \in {10,100}

.

Man kann meine ersten beiden Beiträge

also in den Wind schießen, sorry,

dass ich nicht sofort auf den Trick gekommen bin

(den mathadvisor mit seinem Tipp

u = l g x

ja

im Grunde ja auch schon kommuniziert hat)...

Randolph Esser aktiv_icon

03:49 Uhr, 16.02.2025

Die zweite Aufgabe ist wie die erste

in Grün und hat die Lösung

x = 10

.

Und auch die dritte Aufgabe klappt

mit dem Substitutionstrick wie am Schnürchen:

{(x^{l g x})}^{3} = x^{3 l g x} = \frac{x^{7}}{100}

|Sub.

x = 10^{a}

\Leftrightarrow

10^{3 a^{2}} = 10^{7 a - 2}

\Leftrightarrow

a^{2} - \frac{7}{3} a + \frac{2}{3} = 0

\Leftrightarrow

a = \frac{7}{6} \pm \sqrt{\frac{49}{36} - \frac{2}{3}} = \frac{7}{6} \pm \frac{5}{6}

\Leftrightarrow

a \in {\frac{1}{3}, 2}

\Leftrightarrow

x \in {10^{\frac{1}{3}}, 100}

KL700 aktiv_icon

07:21 Uhr, 16.02.2025

y)

{(x^{l g x})}^{3} = \frac{x^{7}}{100} |

x

l {g (x^{l g x})}^{3} = l g (\frac{x^{7}}{100})

3 \cdot l g (x^{l g x}) = l {g x}^{7} - l g 100

3 \cdot l g x \cdot l g x = 7 l g x - 2

3 \cdot l g^{2} x - 7

x + 2 = 0

l g x = z

3 z^{2} - 7 z + 2 = 0

Den Rest schafftst du alleine

(Lösungen:

x = 100 \lor x = 10^{\frac{1}{3}})

Sehrratlos aktiv_icon

08:04 Uhr, 16.02.2025

Super danke

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