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Logarithmische Spirale Drehrichtung

Universität / Fachhochschule

Tags: logarithmische spirale

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14:39 Uhr, 07.10.2017

Hallo zusammen

Ich bastle mir gerade logarithmische Spiralen mit komplexen Zahlen, wobei die Formel gilt:

z (t) = ∣ z ∣^{t} \cdot e^{i α t}

und:

x = ∣ z ∣^{t} \cdot c o s (α t)

y = ∣ z ∣^{t} \cdot s i n (α t)

Ist |z| < 1, dann ist die Spirale rechtsdrehend, im Uhrzeigersinn.
Ist |z| > 1, dann ist sie linksdrehend.

Das gilt für alle t, ob positiv oder negativ (im ersten Fall nimmt der Radius |z| bei positiven t ab und bei negativen t zu, im zweiten Fall umgekehrt).

Das Komische nun - und ich bin mir nicht sicher, ob ich hier einen Rechenfehler mache:

Wenn der "Anfangswinkel" positiv ist, also z.B. bei

z (t) = (1 + i)^{t}

, gilt obiges betreffend Rechts- oder Linksdrehung, die Drehrichtung der Spirale bleibt gleich, egal ob t positiv oder negativ ist.

Wenn ich aber z.B.

z (t) = (1 - i)^{t}

wähle, dann ist die Spirale bei positiven t rechtsdrehend und bei negativen t linksdrehend; die Drehrichtung der Spirale bleibt also nicht immer gleich.

Stimmt das, oder habe ich etwas falsch gerechnet? (Kann es mir nicht so recht veranschaulichen, ob es korrekt ist, ob es vielleicht irgendetwas mit dem Minus zu tun hat, da -*- = + oder

i^{2} = - 1

oder "weiss der Kuckuck" womit?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Roman-22

16:41 Uhr, 07.10.2017

Du verwendest

z

in zwei unterschiedlichen Bedeutungen - das solltest du tunlichst vermeiden.
Offenbar betrachtest du die Spiralen

z (t) = c^{t}

mit

c \in ℂ

in der Gauß-Ebene und hast dir anhand weniger Beispiele irgendwelche Regeln bzgl. der "Drehrichtung" zurecht gelegt, die sich dann eben an einem anderen Beispiel als falsch herausgestellt haben. Du solltest daher mehr Beispiele heranziehen. Und zwar solche mit unterschiedlichem Betrag von

c (< 1

und

> 1)

und mit unterschiedlicher Phase von

c (> 0

und

< 0)

.

Dabei solltest du erkennen, dass die Parametrisierung, also die Werte von

t,

nicht mit dem zu tun haben, was du links- oder rechtsdrehend nennst, also keinen Einfluss auf die Form der Kurve hat.

Du bekommst eine "linksdrehende" Spirale, wenn

| c | > 1

UND arg(c)>0 ist, aber auch, wenn

| c | < 1

UND arg(c)<0 ist.
Genauer gesagt, bekommst du die Kurve, die du für einen bestimmten Wert

c

erhältst, auch für den Wert

\frac{1}{c}

. Was sich ändert ist die Parametrisierung. Den Teil der Kurve, den du im ersten Fall für positive t-Werte erhältst, erhältst du im zweiten Fall für die negativen. Ist auch nicht schwer einzusehen, wenn man sich

c^{t} = {(\frac{1}{c})}^{- t}

vor Augen hält.

Die beigefügten Grafiken mögen diesen Sachverhalt verdeutlichen. Der rote Teil der kurven entsteht durch negative t-Werte

(- π . . 0),

der grüne durch positive

(0 .

π)

Gwunderi aktiv_icon

17:03 Uhr, 07.10.2017

Hallo Roman

Hoppla, es scheint ganz so, als habe ich doch irgendwo einen Rechenfehler.
Genau Dein zweites Beispiel/Bild mit

c = 1 - i

: der rote Teil der Kurve ist ja der mit negativem t (und |c| kleiner als

\sqrt{2}

).
Genau dieser Teil "dreht sich" bei mir in die andere Richtung als der grüne Teil (es gibt so quasi ein Bruch bei t=0 oder bei c = 1).
Wenn ich das Vorzeichen der Sinuswerte in diesem Bereich umkehre (plus statt minus und umgekehrt), dann stimmt es mit Deinem Bild überein und die Drehrichtung der Spirale bleibt immer gleich … muss es also nochmals durchrechnen, sehen wo mein Fehler liegt. Gut habe ich nachgefragt …

Vielen Dank auch für Deine Mühe mit den Bildern - mit welchem Programm hast Du diese erstellt? ist es online verfügbar? Falls ja, muss ich den unbedingt haben!

Nochmals herzlichen Dank

Roman-22

17:13 Uhr, 07.10.2017

Ganz blick ich bei deinen Angaben jetzt nicht durch, aber Hauptsache du hast deinen Fehler erkannt und korrigiert.
Das Programm, mit dem ich die Grafiken erstellt habe heißt Mathcad und ist nicht kostenlos. Obwohl ich es sehr gern verwende könnte ich es nicht mehr guten Gewissens empfehlen, das es nicht mehr vernünftig weiterentwickelt wird.
Ich denke, dass man vergleichbare Grafiken aber mit den meisten kostenlosen Programmen und Funktionsplottern auch erstellen kann, zB mit GeoGebra.

Gwunderi aktiv_icon

17:25 Uhr, 07.10.2017

Also Mathcat ist nicht sonderlich empfehlenswert? Schade, genau solche Bilder würde ich auch gerne erstellen können, vielleicht schaue ich es mir doch mal an. GeoGebra hatte ich mal installiert, ist mir aber zu mühsam, wahrscheinlich bis man einmal mehr Übung hat, ich brauche es eben nur selten …

Noch kleiner Nachtrag zu Deinem:
«Du bekommst eine "linksdrehende" Spirale, wenn

∣ c ∣ > 1

UND arg(c)>0 ist, aber auch, wenn

∣ c ∣ < 1

UND arg(c)<0 ist.»
Ja, das habe ich auch schon herausgefunden, habe schon mehrere verschiedene Beispiele durchprobiert.
Verstehe aber nicht, wo ich

z

in zwei unterschiedlichen Bedeutungen verwende?

Danke Dir nochmals :-)

Roman-22

17:39 Uhr, 07.10.2017

Mathcad ist relativ teuer und ich verwende eine recht alte Version

15

davon. Die neueren Version heißen Mathcad Prime (derzeit in Version

4)

und sind im Vergleich zur alten 15er Version deutlich weniger leistungsfähig und langsamer. Die Firma PTC scheint das zu wissen und legt gewissermaßen zu jeder Prime Version auch eine 15er Version bei. Quasi eine neuer Version zum ausprobieren, aber die alte Version für ernsthafte Arbeiten.

Ein Möglichkeit, die Kurve in Geogebra zu zeichnen, hab ich dir hier angehängt. Geogebra stellt zwar eine komplexe Zahl (wie im Screenshot

c)

sofort graphisch dar, indem es die xy-Ebene als Gaußebene interpretiert, jedoch hatte ich mit der Definition einer Funktion

z (t) := c^{t}

leider keinen Erfolg und musste auf eine explizite Parameterdarstellung ausweichen. Das mag eine Einschränkung von Geogebra sein oder aber auf meine beschränkten Geogebra Kenntnisse zurückzuführen sein.
Dass Geogebra mit

c = 1 - i

aus dem Ausdruck

c^{t}

ein

1 - i^{t}

macht anstelle von

{(1 - i)}^{t},

halte ich für einen Programmfehler. Er betrifft aber offenbar nur die Darstellung des Ausdrucks am Bildschirm und nicht die Rechnung/Zeichnung selbst.
Du kannst dir in Geogebra auch einen Schieberegler für

t

erstellen und dann beobachten, wie sich der "Punkt"

z_{1} := c^{t}

bei Änderung von

t

auf der Kurve bewegt.

>

Verstehe aber nicht, wo ich

z

in zwei unterschiedlichen Bedeutungen verwende?
Du schreibst

z (t) = | z | \cdot e^{i a t},

meinst aber

z (t) =

|c|*e^(i*arg(c)*t) oder besser kurz

z (t) = c^{t}

. Dein

z

links und das konstante "z" rechts sind zwei unterschiedliche Dinge und sollten daher auch unterschiedliche Namen tragen. Natürlich gilt

z (1) = c,

aber deshalb sind

c

und

z

ja trotzdem nicht das gleiche.

Gwunderi aktiv_icon

18:05 Uhr, 07.10.2017

Eben, ich müsste jetzt weiss ich wie lange suchen, bis ich so eine Grafik mit GeoGebra hinkriege - brauche es wie gesagt seeehr selten … in der Tat schlampig das

(1 - i^{t})

:-)

So ein "doofer" Fehler von mir, habe ihn jetzt gefunden: habe bei (1 - i) mit dem Winkel

π / 4

anstatt

- π / 4

gerechnet!
(Für die positiven t hatte ich es schon früher richtig gerechnet, und jetzt für die negativen mit falschem Winkel) - also alles klar, vielen Dank Roman :-)

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