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Logik Ausdruck anders formulieren

Schüler

Tags: Aufgabe

Christian- aktiv_icon

07:07 Uhr, 14.10.2017

Guten Morgen,

Formulieren Sie den Ausdruck

(A \to B) \to (B \to A)

mit Hilfe logischen Operatoren Negation, Konjunktion

\land

und Disjunktion.

Gibt es ein bestimmtes Vorgehen bei solchen Aufgabenstellungen?
Ansonsten müsste ich hier raten, bis ich das richtig umgeformt hätte.
Ich habe mit Hilfe der Wahrheitstabelle erstmal herausgefunden dass dieser
Ausdruck dann so lautet:

A | B | (A \to B) \to (B \to A)

- - - - - - - - - - - -

w | w | ... . . W

w | f | ... . . W

f | w | ... . . F

f | f | ... . . W

Wie kann ich denn diesen Ausdruck mit hilfe dieser logischen Operatoren so umformen, dass er genau das selbe ergibt?

Danke, wer mir helfen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

09:20 Uhr, 14.10.2017

Es gibt zahlreiche aussagelogische Grundregeln.
Siehe

z . B

. hier.
de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Logik#Verkn.C3.BCpfungen_zweier_Aussagen
de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Logik#Logische_Grundgesetze
de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Logik#Schlussregeln

Gemäß dieser Regeln könnte man so vorgehen:

(A \Rightarrow B) \Rightarrow (B \Rightarrow A) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (A \lor \neg B) \Rightarrow (B \lor \neg A) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (A \lor \neg B) \lor ((\neg (B \lor \neg A)) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow (A \lor \neg B) \lor (\neg B \land A) \Leftrightarrow

\Leftrightarrow A \lor [\neg B \lor (\neg B \land A)] \Leftrightarrow A \lor \neg B

Überprüfe mit Vergleich der Wahrheitstabellen.

Christian- aktiv_icon

09:30 Uhr, 14.10.2017

Vielen Dank für die Ausführung Linda

< 3

Ich habe es dann so gelöst. Stimmt das auch dann?

Respon

09:37 Uhr, 14.10.2017

Wahrheitstabellen gelten nicht als Beweis.
Aber bezüglich deiner letzten Spalte : siehe "Idempotenz"

Respon

10:23 Uhr, 14.10.2017

Wenn erledigt, dann Beispiel "abhaken".

Christian- aktiv_icon

10:29 Uhr, 14.10.2017

Ja danke dir.
Du bist heute so feurig hehe

< 3

Respon

10:39 Uhr, 14.10.2017

Noch ein paar Bemerkungen:
Betrachten wir die Wahrheitstabelle der ursprünglichen Aussage, so läßt sich die dritte Spalte einer Vielzal von anderen aussagelogischen Strukturen zuordnen. Welche davon du nun als "Ergebnis" auswählst, bedarf natürlich einer Erklärung - sofern du dieses Ergebnis durch Probieren überhaupt findest.
Eine Implikation gilt noch immer als problematisch, da sie scheinbar manchmal widersprüchlich zu unserer "intuitiven" Logik ist. Häufig ist es daher günstig, Implikationen in äquivalente Strukturen mit "

\land

", "

\lor

" bzw. "

\neg

" umzuwandeln.
Um herauszufinden, wann und unter welchen Umständen ein logisches Konstrukt wahr oder falsch ist, verwendet man häufig die DNF bzw CNF.

DNF

: T_{1} \lor T_{2} \lor . .

\lor T_{n}

Damit der Gesamtterm wahr ist, muss nur ein Teilterm wahr sein.
Damit der Gesamtterm falsch ist, müssen alle Teilterme falsch sein.

CNF

: T_{1} \land T_{2} \land . .

\land T_{n}

Damit der Gesamtterm wahr ist, müssen alle Teilterme wahr sein.
Damit der Gesamtterm falsch ist, muss nur ein Teilterm falsch sein.

Je nach Aufgabenstellung wird die eine oder andere Form zum Verifiziern bzw. Falsifizieren einer Behauptung verwendet.

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