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Lp Räume keine Teilmenge

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, MATH, Mathematik

anonymous

15:53 Uhr, 30.04.2021

Hallo!

Sei

1 \leq a < b \leq \infty

. Unser Prof. hat letztens in der Funktionalanalysis gesagt, dass bezüglich des Lebesgue-Maßes weder

L^{a} (ℝ) \subset L^{b} (ℝ)

noch

L^{b} (ℝ) \subset L^{a} (ℝ)

gilt.

L^{p} (ℝ)

ist hier der Quotientenraum der beiden Folgenden Räume:

{\bar{L}}^{p} (ℝ) := {f : ℝ \to K

messbar

| K = ℝ

oder

K = ℂ

und

\int_{ℝ} {| f |}^{p} < \infty}

N := {f \in {\bar{L}}^{p} (ℝ) | {| | f | |}_{p}^{⋆} = 0}

wobei

{| | \cdot | |}_{p}^{⋆}

eine Halbnorm auf

{\bar{L}}^{p} (ℝ)

definiert mit:

{| | f | |}_{p}^{⋆} = \int_{ℝ} {| f |}^{p}

.

Nachdem ein Mitstudent nach gefragt hat, wie es denn sein kann, dass weder

L^{a} (ℝ) \subset L^{b} (ℝ)

noch

L^{b} (ℝ) \subset L^{a} (ℝ)

gilt, sagt er wir sollen uns das mal selber überlegen...

Ich komme jedoch nicht darauf. Ich würde eben so vorgehen: Angenommen

L^{a} (ℝ) \subset L^{b} (ℝ)

. Und um das dann zu einen Wiederspruch zu führen würde ich eben ein Element in

L^{a} (ℝ)

angeben, welches nicht in

L^{b} (ℝ)

zu finden ist. Nur... finde ich eben keines

: (

.

Vielleicht kennt ihr ja ein solches Beispiel! Danke und LG!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:08 Uhr, 30.04.2021

Sei

c

zwischen

a

und

b

a < c < b

.
Sei

f

so definiert:

f (x) = 0

für

x \leq 0

f (x) = 0

für

x > 1

und

f (x) = \frac{1}{x^{1 / c}}

für

x \in (0, 1)

.
Dann haben

\int_{ℝ} ∣ f (x) ∣^{a} d x = \int_{0}^{1} (\frac{1}{x^{1 / c}})^{a} d x = \int_{0}^{1} x^{- a / c} d x < \infty

, da

a / c < 1

.
Aber

\int_{ℝ} ∣ f (x) ∣^{b} d x = \int_{0}^{1} (\frac{1}{x^{1 / c}})^{b} d x = \int_{0}^{1} x^{- b / c} d x = \infty

, da

b / c > 1

.
Damit liegt

f

L^{a}

, aber nicht in

L^{b}

.

Wenn man

g

so definiert:

g (x) = 0

für

x \leq 1

und

g (x) = \frac{1}{x^{1 / c}}

für

x > 1

, dann liegt

g

umgekehrt in

L^{b}

, aber nicht in

L^{a}

. Die Einzelheiten hier überlasse ich dir.

anonymous

18:34 Uhr, 30.04.2021

WUNDERVOLL! Danke!

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