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ML Schätzer - Lalplace Verteilung

Universität / Fachhochschule

Tags: Maximum-Likelihood, Schätzer

yellowman

08:48 Uhr, 03.03.2021

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

Von einer Stichprobe sei nur bekannt, dass sie einer Laplace-Verteilung mit unbekanntem Parameter

γ > 0

folgt. Bestimme den ML Schätzer für \gamma bei gegebener Stichprobe

(x_{1}, . . ., x_{n}) \in R^{n}

zum Umfang

n \in N

sofern er existiert.

Für die Laplace Verteilung haben wir uns aufgeschrieben

f (t) = \frac{1}{2 γ} e x p (- \frac{∣ t ∣}{γ})

ML Funktion:

L (γ) = Π_{i = 1}^{n} \frac{1}{2 γ} e x p (- \frac{∣ t_{i} ∣}{γ})

Logarithmieren:

l n (L (γ)) = \sum_{i = 1}^{n} l n (\frac{1}{2 γ} e x p (- \frac{∣ t_{i} ∣}{γ}))

Vereinfachen:

l n (L (γ)) = \sum_{i = 1}^{n} - l n (2) - l n (γ) - \frac{∣ t_{i} ∣}{γ}

Ableiten:

\frac{d}{d γ} l n (L (γ)) = - \frac{n}{γ} + \frac{1}{γ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} ∣ t_{i} ∣

Nach

γ

auflösen wegen notwendigen Kriterium:

γ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ t_{i} ∣

Passt das erstmal soweit?

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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08:52 Uhr, 03.03.2021

Ja, sauber

yellowman

09:04 Uhr, 03.03.2021

Hallo und danke für deine schnelle Antwort. Jetzt fehlt noch das hinreichende Kriterium. Das heißt ich habe noch die zweite Ableitung gebildet und erhalte dann:

\frac{d^{2}}{d γ^{2}} l n (L (γ)) = \frac{n}{γ^{2}} - \frac{2}{γ^{3}} \sum_{i = 1}^{n} ∣ t_{i} ∣

Da habe ich jetzt die Nullstelle der ersten Ableitung eingesetzt und erhalte dann den Ausdruck:

...

= \frac{n - 2}{(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ t_{i} ∣)^{2}}

wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Hier kommt auch meine Frage, der Ausdruck ist doch nur für

n < 2

auch kleiner Null und somit ein Maximum. Passt hier etwas nicht?

Lieben Dank :-)

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09:22 Uhr, 03.03.2021

Du hast dich verrechnet. Im Zähler wird

1 - 2

stehen, nicht

n - 2

yellowman

09:43 Uhr, 03.03.2021

Ist dann bereits meine zweite Ableitung falsch? Sehe nämlich den Fehler nicht in meinen Umformungen.

Dankeschön :-)

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09:58 Uhr, 03.03.2021

Die Ableitung ist richtig.

Aber

\frac{n}{γ^{2}} - \frac{2}{γ^{3}} \sum_{i = 1}^{n} ∣ t_{i} ∣ = \frac{1}{γ^{3}} (n γ - 2 \sum_{i = 1}^{n} ∣ t_{i} ∣) = - \frac{1}{γ^{3}} \sum_{i = 1}^{n} ∣ t_{i} ∣

, denn

n γ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ t_{i} ∣

yellowman

11:44 Uhr, 03.03.2021

Dankeschön, ich habe es jetzt hinbekommen.

Liebe Grüße :-)

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