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Mächtigkeit der Primzahlen
Sonstiges
Tags: Primzahlen, Quadratzahlen
 
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Ich gehe davon aus, das die Primzahlen die gleiche Mächtigkeit haben, wie die natürlichen Zahlen. Weiter muss ich sagen, das ich ein Laie bin.
Die natürlichen Zahlen sind ja multipliziert mit sich selbst Quadratzahlen. Nun meine Frage: Unterziehen wir den Quadratzahlen, eine kleine Veränderung, alle geraden Quadratzahlen dividieren wir mit der Hälfte ihrer Wurzel, ich gebe ein Beispiel: Die Wurzel von 4 ist die Hälfte von 2 ist Die Wurzel von ist 4 und deren Hälfte ist dies kann man in eine Formel packen, die so aussieht: x² Die ungeraden Quadratzahlen dividieren wir einfach durch die Wurzel. x² schreiben wir nun, nachdem wir sie verändert haben, auf: ich setze ein paar Klammern, damit das Muster ein wenig hervortritt: (1), usw... wenn wir nun diese Zahlen nacheinander addieren, so werden wir bemerken, das alle Primzahlen (mit Ausnahme der 2 und der ) als Summe erscheinen. Genauer, es erscheinen alle Zahlen, das sind alle ungeraden Zahlen ausser denen die durch 3 teilbar sind. usw... Ich kann aus jeder Primzahl eine veränderte Quadratzahl zaubern und das geht so: nehmen wir die die ist eine Zahl, mit allen Zahlen machen wir folgendes: und subtrahiert mit 3 ist der teilen wir die 3 zu. und subtrahiert mit 5 ist der teilen wir die 5 zu. bei den Zahlen machen wir folgendes: :3)mal und subtrahiert mit 8 ist der teilen wir die 8 zu. Für alle Zahlen sieht das so aus Für alle Zahlen so mal 2 Wir können also jeder Primzahl eine veränderte Quadratzahl zuordnen, was wir aber nicht können, wir können nicht jeder veränderten Quadratzahl eine Primzahl zuordnen. Jeder Zahl können wir eine veränderte Quadratzahl zuorden, nicht jede Zahl ist eine Primzahl. Gibt es deshalb mehr Quadratzahlen wie Primzahlen ? |
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hallo, >was wir aber nicht können, wir können nicht jeder veränderten Quadratzahl eine Primzahl zuordnen.< Doch, das können wir! Die unendlich vielen Primzahl können der größe nach sortiert werden: also oder in anderer Notation ordne nun der Folge deiner "veränderten" Quadratzahlen die zu, d.h. mit durch falls gerade falls ungerade Damit beschreibt deine "veränderten" Quadratzahlen. Nun ordne zu usw. Damit gibt es eine Zuordnung. Was wir nun wirklich (zumindest bis jetzt,wenn überhaupt?!) nicht können: Ein Formel für die -te Primzahl angeben. Man kann leicht zeigen, dass dies mit einem polynomialen Ausdruck generell auch nicht möglich ist. Siehe dazu auch http//www.onlinemathe.de/forum/Beweis-generisches-polynom-fuer-primzahlen Jede unendliche Teilmenge der natürlichen Zahlen ist zu den natürlichen Zahlen gleichmächtig, da man diese stets als Folge darstellen kann! Dein obiges Problem charakterisiert gerade unendliche Mengen, d.h. unendliche Mengen enthalten echte Teilmengen die dieselbe Mächtigkeit haben! Dies geht bei endlichen Mengen nicht. gruß |
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Ja, ich hab's mir fast gedacht. Ich bedanke mich für die sehr ausführliche Antwort. Gruss |
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