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Majorantenkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

MathMP

22:22 Uhr, 28.05.2019

Hallo, und zwar hab ich noch etwas Unsicherheiten, was das Majorantenkriterium, speziell das Abschätzen der Majorante, anbelangt. In meinen Kopf hab ich folgende "Fakten" herumschwirren, wobei ich mir nicht sicher bin, ob diese stimmen.

Beim Abschätzen kann man machen was man will, solange die Bedingung IakI

\leq

bk erfüllt wird. Wie man das abschätzt ist einem selbst überlassen, daher gibt es immer verschiedene Lösungswege. Aufpassen muss man wenn man abschätzt dass man Nicht auf die Idee kommt, dass

(\frac{1}{7 n^{21}}) \leq (\frac{1}{n})

abschätzt weil

(\frac{1}{n})

divergiert und nicht konvergiert. Ansonsten ist man frei wie man abschätzt.
Man kann nach dem Abschätzen zum Zeigen der Konvergenz der Majorante ein anderes Kriterium verwenden zb. Wurzel-,Quotienten usw. oder zb über gewisse Axiome Konvergenz feststellen zb. harmonische oder geometrische Reihe.

Stimmt diese Aussage? könnte man was ergänzen?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

23:30 Uhr, 28.05.2019

Ich würde auf jeden Fall folgendes ergänzen:

Diese Majorantenabschätzung

∣ a_{k} ∣ \leq b_{k}

muss nicht für alle Reihenindizes

k

gelten - es reicht es wenn es ein

k_{0}

gibt, so dass diese Abschätzung für alle

k \geq k_{0}

gilt. Das "entspannt" so manches Problem.

MathMP

09:03 Uhr, 29.05.2019

Ja, danke.

Wie man cosinus und sinus abschätzt ist mir klar da die y-Werte zwischen 1 und

- 1

liegen.

Wie kann ich den Tangens abschätzen und wie den arctan??

\sum \frac{{(2^{n} \cdot {tan}^{- 1} (3^{n} + cos (n!)) + n^{2})}^{2}}{(5^{n} + n^{3} - 1)}

wie kann ich hier

{tan}^{- 1}

also arctan abschätzen?

ermanus aktiv_icon

09:12 Uhr, 29.05.2019

Hallo,

- \frac{π}{2} < \arctan < \frac{π}{2}

Gruß ermanus

MathMP

09:41 Uhr, 29.05.2019

Danke!

\sum \frac{2^{n} \cdot {tan}^{- 1} {(3^{n} + cos (n!) + n^{2})}^{2}}{5^{n} + n^{3} - 1} \leq \frac{2^{n} \cdot \frac{π^{2}}{4}}{5^{n} - 1}

Im Nenner stört mich noch das

- 1,

weil ich es nicht mit Wurzelkriterium loswerde.
Würde es so machen:

r = lim n \sqrt{\frac{2^{n} \cdot \frac{π^{2}}{4}}{5^{n} - 1}} = lim n \sqrt{\frac{2^{n} \cdot (\frac{π^{2}}{4})}{5^{n} \cdot (1 - \frac{1}{5^{n}})}} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1}

und

\frac{2}{5}

ist kleiner als 1 somit ist Majorante absolut konvergent, somit ist das Beispiel absolut konvergent. Stimmt das so?

HAL9000

09:57 Uhr, 29.05.2019

Was mich an diesem Beispiel stört ist die fehlende Klammerung im Zähler des Reihenglieds:

Ist nun

\arctan ({(\dots)}^{2})

gemeint oder doch

{(\arctan (\dots))}^{2}

?

Du hast dich für die zweite Interpretationsvariante entschieden, nun gut. Nicht dass es für die Konvergenzentscheidung eine Rolle spielen würde (in beiden Fällen hat man Konvergenz), aber ärgerlich sind solche Uneindeutigkeiten trotzdem.

Was den Rest deiner Abschätzung betrifft: Geh dem Ärger doch ganz einfach aus dem Weg, indem du die Abschätzung nur für

n \geq 1

vornimmst, dort klappt dann

Reihenglied \leq \frac{2^{n}}{5^{n}} \cdot \frac{π^{2}}{4}

.

Passt ganz gut zu meiner Anmerkung oben. :-)

MathMP

10:12 Uhr, 29.05.2019

Sorry, hab mich bei meinem zweiten Post mit der Klammersetzung verdrückt.

Ja deine Darstellung ist dann wesentlich einfacher, aber richtig wäre meine dennoch oder?

HAL9000

10:22 Uhr, 29.05.2019

Ja, geht auch. Ich finde es nur vermeidbar umständlich, Majorantenkriterium dann auch noch mit Wurzelkriterium für die Majorantenreihe zu verbinden:

Wenn schon Majorantenkriterium, dann doch am besten gleich mit einer Majorante, der man direkt die Konvergenz ansieht, weil sie eben schon die Struktur einer Standard-Vergleichsreihe (wie eben einer konvergenten geometrischen Reihe) hat.

MathMP

10:23 Uhr, 29.05.2019

Danke!

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