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Mannigfaltigkeit, brauche verständnis einstieg
Universität / Fachhochschule
Tags: Mannigfaltigkeit
 
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tausend seiten über mannigfaltigkeiten und kein einfaches beispiel... moechte eigentlich erstmal keine mathematische erklaerung, sondern nur die grundidee der mannigfaltigkeit. wo hoeren denn die beschreibungen von geometrischen objekten im auf, so dass ich überhaupt den begriff der mannigfaltigkeit benoetige. koennte man das an einem einfachen beispiel klar machen ? (nicht rechenbeispiel, sondern eher bildhaft erklaert) was ist mannigfaltigkeit? wenn ich die erde auf karten abbilde, -sind dann die karten die mannigfaltigkeit? -ist die eigenschaft, dass ich überhaupt diese karten bilden kann, die mannigfaltigkeit? -ist die erde selber die mannigfaltigkeit? irgendwie wird immer erzaehlt, dass der nicht ausreicht um komplexe geometrische gebilde berechnen zu können, wenn es um integration und ableitung geht. also teilt man alles in einzelne karten auf, die nur teile des objekts abbilden. die bildung der karten ist kompliziert, weil weiterhin integration und ableitung so erhalten bleiben sollen, dass ich auf den karten integrieren/ableiten kann und so das objekt stueck fuer stueck integrieren/ableiten kann?? stimmt das soweit??? ist diese kartenbildung also nichts anderes als die zerlegung des eigentlichen objekts? danke und lg |
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irgendwelche cracks da?? |
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Die eigentliche Mannigfaltigkeit in deinem Beispiel ist die Erdoberfläche (als topologischer Raum, also im wesntlichen die . Die kann zwar in den eingebettet werden, aber als kleines Kriechtier auf der Oberfkläche hat man von der Existenz eines einbettenden vielleicht keine Ahnung, sondern sieht nur seine lokale Umgebung, und die sieht eher wie ein aus. Dementsprechend kann man seine Umgebung ja auch einigermaßen verzerrungsfrei (auf jeden Fall aber homöomorph) auf bzw. eine offene Teilmenge davon abbilden - sprich: eine Karte erstellen. Sich überlappende Karten kann man normalerweise zusammenkleben zu einer größeren ebenen Karte; notfalls muss man stetig verzerren, aber letztlich passt es. Aber komplett wird einem das nie gelingen, weil die Erdoberfläche halt doch nicht in eingebettet werden kann. Gäbe es kein solches System von Karten, wäre die Erdoberfläche keine Mannigfatigkeit. Die Tatsache, dass es solche Karten gibt, beweist, dass die Erdoberfläche eine Mannigfaltigkeit ist. Es gibt aber möglicherweise verschiedene Autorenansichten, so dass der eine schreibt: Ein topologischer Raum heißt n-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn jeder Punkt eine zu homöomorphe Umgebung besitzt. Und ein anderer definiert vielleicht: heißt n-dimensionale Manigfaltigkeit, wenn eine Menge und eine Menge von Abbildungen von Teilmengen von nach ist ist dann ein "Atlas"), so dass gilt . Der zweite Weg erscheint umständlicher, aber spätestens dann, wenn man auf eine differenzierbare Struktur einführen möchte, ist es sinnvoll, den Atlas gleich mit zu betrachten, denn hierbei zeichnet man unter allen Karten einer Umgebung einige (die "glatten") besonders aus. |
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