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Mantelfläche eines Kegels, Integration

Universität / Fachhochschule

Tags: Integration, Mantelfläche eines Kegels

faselfaselpasel aktiv_icon

18:59 Uhr, 08.07.2015

Hallo,

wie bestimme ich die Mantelfläche eines Kegels mit der Höhe

1,

dessen Grundfläche den Radius

\frac{1}{2}

hat. Wie genau muss ich das Oberflächenintegral aufstellen?

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Werner-Salomon aktiv_icon

22:19 Uhr, 08.07.2015

Hallo,

im Prinzip bieten sich zwei Möglichkeiten an. Zum einen kann man die Mantelfläche in aufrechte schlanke Dreiecke mit einer Ecke in der Kegelspitze und einer Grundseite

d s

auf dem Umfang des Grundkreises zerlegen.
Und zum anderen in Ringe mit der Höhe

d h

, die man durch waagerechte Schnitte erhält.

Der Kegel habe die Höhe

h

und den Radius des Grundkreises

r

U = 2 π r

sei der Umfang des Grundkreises.

Im ersten Fall ist die Höhe der Dreiecke

= \sqrt{h^{2} + r^{2}}

also ist

M = \int_{U} \frac{1}{2} \sqrt{h^{2} + r^{2}} d s

, da alles unterhalb des Integrals konstant ist, ist

M = \frac{1}{2} \sqrt{h^{2} + r^{2}} \int_{U} d s = \frac{1}{2} \sqrt{h^{2} + r^{2}} \cdot 2 π r = \sqrt{h^{2} + r^{2}} \cdot π r

Im zweiten Fall bestimmt man zunächst die Breite des Rings bzw. Mäntelstücks

d l = \sqrt{1 + {(\frac{r}{h})}^{2}} d h

x

sei die Höhe in der der Mantel geschnitten ist, somit ist sein Radius=

r - \frac{r}{h} x

in der Höhe

x

. Damit ergibt sich die Fläche zu

M = \int_{x = 0}^{h} 2 (r - \frac{r}{h} x) π \sqrt{1 + {(\frac{r}{h})}^{2}} d h

bzw.

M = 2 \sqrt{1 + {(\frac{r}{h})}^{2}} \cdot π (r h - \frac{r}{2 h} h^{2})

= 2 \sqrt{1 + {(\frac{r}{h})}^{2}} \cdot π h \frac{r}{2} = \sqrt{h^{2} + r^{2}} \cdot π r

Gruß
Werner

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