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Markov und Tschebyschev

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Markov, Tschebyschev

sftmxr aktiv_icon

23:39 Uhr, 09.11.2014

Wir würfeln mit 4 fairen unterscheidbaren Würfeln bis die Summe der Augen bei einem Wurf 8 ist. Schätzen Sie sowohl mit der Markov- Als auch mit der Tschebyschev-Ungleichung die Wahrscheinlichkeit ab, dass dies mindestens viermal solange dauert wie im Erwartungswert.

Also, was die Markov und Tschebyschev Ungleichungen sind weiß ich so ungefähr. Allerdings weiß ich nicht wie ich hier einen Erwartungswert berechnen soll, mit dem Ich ja vergleichen soll. Auch hab ich keine Ahnung wie ich hier die beiden Ungleichungen nutzen kann. Vlt könnt ihr mir ja ein paar Denkanstöße oder Lösungsansätze geben.

Gruß sftmxr

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:08 Uhr, 10.11.2014

W-keit, dass man die Summe

8

zuerst im

n

-ten Wurf bekommt ist

P (S u m m e \neq 8)^{n - 1} \cdot P (S u m m e = 8)

, da einzelne Würfe unabhängig sind.

P (S u m m e = 8)

ist

\frac{4^{4}}{6^{4}}

- das ist etwas tricky, hier wird die Summe

8

auf

4

Positionen "verteilt", dabei müssen alle Positionen mindestens

1

sein, also sind in Wirklichkeit

4

von

8

schon verteilt, es bleibt nur die restlichen

4

zu verteilen, so etsteht

4^{4}

.
Also ist die W-keit, dass man die Summe

8

zuerst im

n

-ten Wurf bekommt:

(1 - (\frac{2}{3})^{4})^{n - 1} \cdot (\frac{2}{3})^{4}

.
Der Erwartungswert ist dann

\sum_{n = 1}^{\infty} n \cdot (1 - (\frac{2}{3})^{4})^{n - 1} \cdot (\frac{2}{3})^{4}

und das sieht monströs aus, aber ist berechenbar.
Und zwar, wenn wir

1 - (\frac{2}{3})^{4}

als

q

bezeichen, dann haben wir die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} n q^{n - 1} \cdot (1 - q) = (1 - q) \sum_{n = 1}^{\infty} n q^{n - 1} = \frac{1}{1 - q}

,
denn

\sum_{n = 1}^{\infty} n q^{n - 1} = \frac{d (\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n})}{d q} = \frac{d (\frac{1}{1 - q})}{d q} = \frac{1}{(1 - q)^{2}}

.

Also, Erwartungswert=

\frac{1}{1 - q} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^{4}} = (\frac{3}{2})^{4}

.

Eine schöne Aufgabe. :-)

DrBoogie aktiv_icon

11:29 Uhr, 10.11.2014

Leider stimmt die

P (S u m m e = 8)

bei mir nicht, ich habe eine Computersimulation gemacht. :-)
Ich muss noch überlegen, wie man sie richtig bestimmt.

Matlog aktiv_icon

12:36 Uhr, 10.11.2014

Bei der Bestimmung von P(Summe=8) geht es um folgende Frage:
Wieviele Zerlegungen der Zahl

8

in vier Summanden (aus den natürlichen Zahlen) gibt es? Dabei müssen wir verschiedene Reihenfolgen unterscheiden.
(Die

4^{4}

von DrBoogie stimmen nicht, weil dabei viele Möglichkeiten mehrfach gezählt werden.)

Vermutlich gibt es theoretische Untersuchungen zu einem solchen Thema, aber bei dieser überschaubaren Größe unserer Zahlen geht das recht schnell mit systematischem Abzählen der Möglichkeiten:
Kann eine 6 dabei sein?
Wieviele Möglichkeiten mit einer 5 gibt es, wieviele mit einer

4,

wieviele mit einer 3 als größter Zahl, wieviele mit einer 2 als größter Zahl?

Erwartungswert (und Varianz) der gesuchten Zufallsgröße kann man dann berechnen, oder sich unter dem Thema "geometrische Verteilung" informieren.

Matlog aktiv_icon

13:08 Uhr, 10.11.2014

Ich habe jetzt auch herausgefunden, wie man die Anzahl der Zerlegungen der Summe

8

in vier Summanden ohne abzuzählen bestimmt:

8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

muss in 4 Summanden aufgeteilt werden.
Dazu muss man aus den

8 - 1 = 7

obigen Pluszeichen

4 - 1 = 3

als Trennung der Summanden auswählen.
Dafür gint es

(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})

Möglichkeiten.

DrBoogie aktiv_icon

14:02 Uhr, 10.11.2014

Sehr schön! :-)

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