Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Matrix-Potenz

Matrix-Potenz

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrix, Potenz

bjk09 aktiv_icon

10:53 Uhr, 16.06.2009

Die Matrix A ∈

ℝ^{N, N}

sei symmetrisch und positiv deﬁnit. Dann bilden die normierten Eigenvektoren

v^{1},

. . .

, v^{N}

∈

ℝ^{N}

(mit zugehorigen Eigenwerten

λ_{1}

≥ · · · ≥

λ_{n} > 0)

von A eine Orthonormalbasis von

ℝ^{N}

. Zeigen Sie:

a) A

hat die Darstellung

A = \sum_{i = 1}^{N} (λ_{i}) \cdot v^{i} \cdot {(v^{i})}^{T}

. und
uber diese Darstellung von A definieren wir

α

∈

ℝ

die Matrix-Potenzen:

A^{α} = \sum_{i = 1}^{N} {(λ_{i})}^{α} \cdot v^{i} \cdot {(v^{i})}^{T}

b) A^{α}

ist symmetrisch und positiv definit für alle

α

∈

ℝ

und

A^{α} \cdot A^{β} = A^{α + β}

Also bei der

a)

hab ich zum beispiel für

α = 2

wie gefolgt gerechnet

A \cdot A = \sum_{i = 1}^{N} (λ_{i}) \cdot v^{i} \cdot {(v^{i})}^{T} \cdot \sum_{i = 1}^{N} (λ_{i}) \cdot v^{i} \cdot {(v^{i})}^{T}

= \sum_{i = 1}^{N} {(λ_{i})}^{2} \cdot v^{i} \cdot {(v^{i})}^{T} \cdot v^{i} \cdot {(v^{i})}^{T}

. Da

{(v^{i})}^{T} \cdot v^{i} = 1

ist (Da

v

orthonormalbasis ist, folgt

= \sum_{i = 1}^{N} {(λ_{i})}^{2} \cdot v^{i} \cdot {(v^{i})}^{T}

.

Stimmt dieser Rechnung,weil dann kann ich allgemein für alle

α

lösen?

b)

Hier ist mir nicht eingefallen wie ich es zeigen kann,obwohl es logisch ist.

Mit freundlichen Grüssen

bjk09

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

622396

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?