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Matrix als Produkt von Elementarmatrizen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Eigenwert, Elementarmatrix, Matrizenrechnung, produkt

KikiS

01:14 Uhr, 04.01.2018

Hallo zusammen,
ich brauche Eure Hilfe, da ich die Aufgabe nicht lösen kann...

a)

Es sei

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 0 & a + 2 & 16 \\ - 3 & a & 2 & 4 \end{matrix}) \in M (4 x 4, ℝ)

.
Stellen Sie A als Produkt der Elementarmatrizen der Art I, II, III dar.
Hinweis: Erst benutzen Sie die Zeilen- und Spaltenoperationen der Art I (Tauschen) und II (Addieren) um

A

in Form einer diagonalen Matrix zu bringen.

b)

Für welche

a \in ℝ

ist A invertierbar?

Bei

b)

scheitere ich bei dem Schritt:

(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & a & 0 & 2 a \\ 0 & 0 & a & 2 a^{2} - 4 a \\ 0 & 0 & 0 & - 2 a^{2} + 4 a + 16 \end{matrix}) | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ - 3 a & a^{2} & 0 & - a \\ 2 + 3 a & - a^{2} & 1 & a \end{matrix} |

.

Für Eure Vorschläge bin ich dankbar. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pwmeyer aktiv_icon

11:26 Uhr, 04.01.2018

Hallo,

ich nehme an, die Matrix links soll die Matrix nach ZeilenUmformungen sein.

- Ich habe da etwas anderes herausbekommen in Zeile 2 und 3.

- Jedenfalls wäre das Kriterium für Invertierbarkeit, dass die Diagonal-Elemente ungleich 0 sind.

Gruß pwm

KikiS

11:33 Uhr, 05.01.2018

Hallo pwm,
ja, ich hatte bei einem Schritt die Zeilen falsch berechnet und deshalb kam ich ins Stocken.

Hab die Aufgabe ausgeschlafen nochmal probiert und es geschafft. War dann doch nicht so schwer wie gedacht.
Danke für deine Antwort :-)

LG

txiixy aktiv_icon

18:22 Uhr, 07.01.2018

Hallo KikiS,
mich würde gerne deine Lösungsskizze zu dieser Aufgabe interessieren.

LG

KikiS

21:13 Uhr, 07.01.2018

Aber gerne doch:-)
Anbei findest du die gescannten Seiten. Ich hoffe, dass das so richtig ist und Dir hilft. Wenn noch Fragen offen sein sollten, hoffe ich helfen zu können :-)

Lg

txiixy aktiv_icon

22:08 Uhr, 07.01.2018

Sehr lieb danke! Wie bestimmst du die Zahlen an den

E' s

? Oke, Zeile zuerst Spalte später, aber bei deiner Schreibweise habe ich leicht den Überblick verloren.

KikiS

23:23 Uhr, 07.01.2018

Die "Formel" für die

E' s

lautet

E^{m} \to

also die Anzahl der Zeilen, die deine Matrix hat
und

z . B

E_{1,2} (3)

bedeutet, dass du die 1. Zeile zur

3 \cdot

2.Zeile addierst.
So gesehen hast du in blau neben den Matrizen die Zeilenumformungen, wie aus der Schule gewöhnt, und in lila die dazu gehörogen Elementarmatrizen.

-Bei einer

4 x 4

Matrix möchtest du die 2. Zeile mit der 3. tauschen:

E_{2,3}^{4}

- Selbe Matrix aber jetzt 2. Zeile mit

a \cdot 3

. Zeile addiert:

E_{2,3}^{4} (a),

parallel dazu die Schulumformung: II

+ a \cdot

III.

Ich hoffe, dass hilft weiter :-)

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