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Matrix aus Eigenvektoren berechnen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Eigenvektor, Eigenwert

Crusty aktiv_icon

15:56 Uhr, 16.03.2011

Hallo zusammen! Ich habe folgendes Problem:

gegeben sind die Eigenwerte

L 1 = 1

und

L 2 = 4

und außerdem die Eigenvektoren

v 1 = (2,3)

und

v 2 = (1,2)

.
Die Aufgabenstellung sagt, ich soll daraus eine Matrix A bestimmen, aber wie mache ich das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:05 Uhr, 16.03.2011

Hallo,

schreibe die Eigenvektoren als Spalten einer Matrix, diese nenne

M

. Dann ist

M^{- 1} A M

eine Diagonalmatrix!

Mfg Michael

BjBot aktiv_icon

16:23 Uhr, 16.03.2011

Oder setze einfach ganz elementar mit

A \cdot v = λ \cdot v

an, was zu einem recht einfach zu lösenden LGS führt.

Gerd30.1 aktiv_icon

19:52 Uhr, 16.03.2011

Es gilt doch

A \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = 1 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

und

A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = 4 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

Mit

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

wird dann

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = 1 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = 4 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

Crusty aktiv_icon

09:20 Uhr, 17.03.2011

Danke für die Hilfe! Ich hab's mal mit alles Wegen versucht und bin auf das Ergebnis

A = (\begin{matrix} - 8 & 6 \\ - 18 & 13 \end{matrix})

gekommen, kann das hinhauen?

Gerd30.1 aktiv_icon

14:54 Uhr, 17.03.2011

Herzlichen Glückwunsch! geht doch!mfG

fraweg aktiv_icon

15:51 Uhr, 11.09.2012

Hallo zusammen,

kann das mal bitte jemand vorrechnen? Ich bekomme das so nicht hin

: - (

Wenn ich das richtig versteh müßte

M \cdot A \cdot M^{- 1}

eine Lösung bringen.

Also:

Eigenwerte:

1,4

Eigenvektoren:

(2,3)

und

(1,2)

Somit:

M = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix})

M^{- 1} = (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

Da bekomme ich

(\begin{matrix} 13 & - 6 \\ 18 & - 18 \end{matrix})

raus...

: - (

Viele Grüße
Frank

fraweg aktiv_icon

12:37 Uhr, 12.09.2012

Hallo,

kann niemand weiter helfen?... Hab ich das zumindest richtig umgesetzt und verrechne mich nur ?

Viele Grüße
Frank

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