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Matrix einer affinen Abbildung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Tags: Affine Abbildung, homogene Koordinaten, Voyage200

Gisy123 aktiv_icon

13:58 Uhr, 05.03.2013

Hallo,

folgende Aufgabe macht mir Schwierigkeiten:
Im

R 3

werden durch eine affine Abbildung

α

die Punkte

A (2, - 2,2), B (3, - 2,1), C (2, - 1,3)

und

D (0, - 2,2)

auf

α (A) = (1,1,1), α (B) = (1,3, - 1), α (C) = (- 1,1,3)

und

α (D) = (1, - 1,3)

abgebildet.
Bestimmen Sie mit Ihrem Voyage200 unter Verwendung homogener Koordinaten die Abbildungsmatrix.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

oculus aktiv_icon

15:13 Uhr, 05.03.2013

Hallo gisy,
hast du nur Schwierigkeiten mit deinem Rechner oder auch mit dem Lösungsweg ?
oculus

Gisy123 aktiv_icon

15:53 Uhr, 05.03.2013

Danke für die schnelle Antwort.

Nach der Aufgabe wäre bei nicht homogenen Koordinaten eine 3x3-Matrix A und ein 3-dimensionaler Spaltenvektor

t

gesucht, so dass

α (x) = A \cdot x + t

. Auch da hätte ich bei der Lösung schon Schwierigkeiten.
Vielleicht braucht man das aber gar nicht, denn mit homogenen Koordinaten soll die Lösung unter Verwendung des Voyage ganz bequem in zwei Schritten möglich sein.

Gisy

oculus aktiv_icon

20:12 Uhr, 05.03.2013

Hallo,

ich gebe dir nur das "Rezept" zur Lösung an. Die Begründung solltest du selbst finden.

1. Eingabe einer 4X4-Matrix "org", indem du die abzubildenden "Originalpunkte" zu Spaltenvektoren von "org" wählst und den drei Komponenten jedes Spaltenvektors eine 1 als eine weitere "nullte" Komponente hinzufügst.
2. Gib auf gleiche Weise aus den zugehörigen Bildpunkten die Matrix "bild" ein.
3. Lasse den Rechner bild*org^(-1) ausrechnen.
4. Deute das Ergebnis:
Die erste Spalte (ohne die nullte Komponente) ist der translative Teil der Affinität, also dein Vektor

t

.
Die unter den drei Nullen der "nullten" Zeile stehende 3x3-Matrix ist deine Matrix A.

Insgesamt erhält man:

α (x_{1}, x_{2}, x - 3) = (\begin{matrix} 0 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

Siehe den Scan unten!

Gruß

oculus

Gisy123 aktiv_icon

12:31 Uhr, 07.03.2013

Hallo,
danke für das ausführliche Rezept. ich brauche noch Zeit um die math. Begründung zu finden. GGf. melde ich mich später noch einmal.

Gisy

Gisy123 aktiv_icon

13:22 Uhr, 07.03.2013

Hallo oculus,

tut mir leid, aber ich komme nicht klar mit deinem Rezept. Können wir es nicht zuerst mit inhomogenen Koordinaten versuchen?

Gisy

oculus aktiv_icon

14:38 Uhr, 07.03.2013

Nun denn, fangen wir an:

Wenn man inhomogene Koordinaten verwendet, erhält man das Bild x´ eines Punktes

x

bei einer affinen Abbildung des

R 3

auf sich durch eine 3x3-Matrix

M

und einem Verschiebungsvektor

t = (\begin{matrix} t 1 \\ t 2 \\ t 3 \end{matrix})

mittels einer Gleichung der Form x´=

M \cdot x + t

.

Man benutzt nun die Tatsache, dass es besonders leicht ist, die Matrix

M

und den Vektor

t

dann anzugeben, wenn man die Punkte

O (0,0,0), E 1 (1,0,0), E 2 (0,1,0)

E 3 (0,0,1)

auf 4 andere Bildpunkte des Raumes abzubilden hat.
Das versuche einmal selbst hinzukriegen, indem du die Bildpunkten deiner Aufgabe als Beispiel nimmst.

oculus

Gisy123 aktiv_icon

16:05 Uhr, 07.03.2013

Hallo,meinst du das:

O (0,0,0)

auf

A (1,1,1)

abilden:

(\begin{matrix} a 11 & a 12 & a 13 \\ a 21 & a 22 & a 23 \\ a 31 & a 32 & a 33 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} t 1 \\ t 2 \\ t 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

.
Daraus folgt:

t 1 = t 2 = t 3 = 1

oculus aktiv_icon

16:18 Uhr, 07.03.2013

Richtig, nur hast du nicht - wie du schreibst - die Abbildung von

O

auf

A,

sondern

O

auf

α A

genommen, und dazu hatte ich ja auch angeregt.
Jatzt mach weiter mit der Abbildung von

E 1

auf

α B

etc. Nutze dabei die Kenntnis von

t

Gisy123 aktiv_icon

19:15 Uhr, 07.03.2013

Es ist

M \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a 11 \\ a 21 \\ a 31 \end{matrix}),

also

α (E 1) = (\begin{matrix} a 11 \\ a 21 \\ a 31 \end{matrix}) + (\begin{matrix} t 1 \\ t 2 \\ t 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a 11 \\ a 21 \\ a 31 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und dann so ähnlich für

α (E 2)

und

α E (3) :

Und wie weiter?

oculus aktiv_icon

20:57 Uhr, 07.03.2013

Hallo Gisy,

jetzt mach ich es kurz aus Zeitmangel.
Du kennst

α (E 1)

. Setze es in deine letzten Gleichung ein und berechne

(\begin{matrix} a 11 \\ a 21 \\ a 31 \end{matrix})

. Mach das Gleiche mit den beiden anderen von Dir genannten Gleichungen. Die aus den so gewonnenen drei Vektoren erhaltene Matrix

M 1

liefert zusammen mit dem Vektor

t

eine affine Abbildung

β :

x´=M1*x+t mit

β (O) = α (A), β (E 1) = α (B), β (E 2) = α (C)

und

β (E 3) = α (D)

.
Ebenso bestimmt man die affine Abbildung

γ

mit

Γ (O) = A, γ (E 1) = B, γ (E 2) = C, γ (E 3) = D

.

Berechne nun

β \cdot γ^{- 1}

.

Kontrollergebnisse:

β :

x´=

(\begin{matrix} 0 & - 2 & 0 \\ 2 & 0 & - 2 \\ - 2 & 2 & 2 \end{matrix}) \cdot x + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

γ :

x´=

(\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix}) \cdot x + (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix})

β \cdot γ^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix})

α :

x´=

(\begin{matrix} 0 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \cdot x + (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

Wenn du nicht klar kommen solltest, helfe ist morgen weiter.

Gruß

oculus

Gisy123 aktiv_icon

17:49 Uhr, 08.03.2013

Hallo oculus,
also einfach ist das nicht, ich glaube aber das Wesentliche kapiert zu haben.
Danke für deine Hilfe.

Gisy.

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