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Matrix einer linearen Abbildung bestimmen

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Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Linear Abbildung, Matrix einer linearen Abbildung bezüglich Basen, Matrizenrechnung

wiewowas aktiv_icon

16:26 Uhr, 11.12.2016

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe. Also ich habe erstmal eine grundlegende Frage, wie bestimme ich die Matrix einer linearen Abbildung bezüglich der Basen?
Ich habe gegeben in der Aufgabe:
Gegeben ist die folgende lineare Abbildung

f : ℝ^{2}

→

ℝ^{2} : x \mapsto

Ax mit

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})

sowie die Basis

B

bestehend aus

b_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und

b_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

.
Berechnen sie

B f B

Kann mir da jemand helfen. Ich wäre euch sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

16:41 Uhr, 11.12.2016

Vorgehensweise zur Bestimmung der Matrix:

Setze die Basisvektoren der Basis des Definitonsmenge von

f

in die Abbildung

f

ein und Stelle die so erhaltenen Vektoren jeweils bzgl. der Basis der Zielmenge dar.

Also:

Die Basis des Definitionsbereichs ist hier

B = (b_{1}, b_{2})

. Genauso ist hier auch die Basis der Zielmenge auch

B = (b_{1}, b_{2})

.

Berechne also

f (b_{1})

und

f (b_{2})

. Und finde dann Koeffizienten

λ_{1, 1}

und

λ_{2, 1}

und

λ_{1, 2}

und

λ_{2, 2}

mit:

f (b_{1}) = λ_{1, 1} b_{1} + λ_{2, 1} b_{2}

f (b_{2}) = λ_{1, 2} b_{1} + λ_{2, 2} b_{2}

Dann ist

(\begin{matrix} λ_{1, 1} & λ_{1, 2} \\ λ_{2, 1} & λ_{2, 2} \end{matrix})

die gesuchte Matrix.

wiewowas aktiv_icon

16:49 Uhr, 11.12.2016

Danke für die schnelle Antwort.
Ich verstehe nicht genau was du meinst mit finde dann die Koeffizienten.
Ist

f (b_{1}) := (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix})

und

f (b_{2}) := (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})

Stimmt das bis jetzt und wie geht es weiter?

mihisu aktiv_icon

17:17 Uhr, 11.12.2016

Soweit so gut.

Nun suchst du also Koeffizienten

λ_{1, 1}

und

λ_{2, 1}

mit:

f (b_{1}) = λ_{1, 1} b_{1} + λ_{2, 1} b_{2}

Also:

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) = λ_{1, 1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + λ_{2, 1} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

Also:

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1, 1} + 2 λ_{2, 1} \\ λ_{1, 1} + λ_{2, 1} \end{matrix})

Du musst also das Gleichungssystem

λ_{1, 1} + 2 λ_{2, 1} = 3

λ_{1, 1} + λ_{2, 1} = 3

lösen um

λ_{1, 1}

und

λ_{2, 1}

zu erhalten.

Dazu kann man jetzt den Gaußalgorithmus verwenden.
Oder man sieht so, dass wenn man die beiden Gleichungen voneinander subtrahiert

λ_{2, 1} = 0

hat und dementsprechend

λ_{1, 1} = 3

ist.

Analog erhälst du

λ_{1, 2}

und

λ_{2, 2}

als Lösung des linearen Gleichungssystems

λ_{1, 2} + 2 λ_{2, 2} = 5

λ_{1, 2} + λ_{2, 2} = 3

wiewowas aktiv_icon

17:30 Uhr, 11.12.2016

Also das LGS ergibt

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}) = λ_{1,1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + λ_{2,1} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow λ_{1,1} = 3

und

λ_{2,1} = 0

dasselbe habe ich mit dem anderen noch gemacht:

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) = λ_{1,1} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + λ_{2,2} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow λ_{1,2} = 1

und

λ_{2,2} = 2

Also ist meine Matrix

(\begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix})

wiewowas aktiv_icon

17:35 Uhr, 11.12.2016

Vielen Dank

mihisu aktiv_icon

17:47 Uhr, 11.12.2016

Ja, die Matrix ist richtig.

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