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Matrix ist invertierbar = alle Eigenwerte ung. 0 ?

Schüler

Tags: Determinante, Eigenvektor, Eigenwert, Inverse Matrix

 
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Dunkler

Dunkler

15:26 Uhr, 09.11.2014

Antworten
"Falls eine Matrix invertierbar ist, so sind alle Eigenwerte ungleich 0"

Guten Tag,
Wie kann ich auf diesem Zusammenhang schließen?

Ich weiß, dass:
wenn ich eine Matrix invertieren kann, so ist die Determinante dieser ≠0.
Ein Gleichungssystem hat dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante ≠0 ist.

Aber könnten die Eigenwerte nicht dennoch =0 sein?
Bzw. hätte vielleicht Einer eine Beispielaufgabe?

Mit freundlichen grüßen
Dunkler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Antwort
anonymous

anonymous

15:33 Uhr, 09.11.2014

Antworten

Sei A die Matrix und invertierbar.

A lässt lässt sich Schreiben als

S⋅D⋅S-1

mit S als Transformationsmatrix und D als Diagonalmatrix mit Eigenwerten auf der Diagonalen.

Angenommen A hat einen Eigenwert =0

⇒det(D)=0
⇒det(A)=0

A ist aber nach Vorraussetzung invertierbar.
Antwort
Shipwater

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16:01 Uhr, 09.11.2014

Antworten
Nicht jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar.
Sei A invertierbar. Angenommen 0 ist Eigenwert von A. Das bedeutet gerade, dass das LGS Ax=0 nichttriviale (also mehrere) Lösungen besitzt. Daraus folgt aber det(A)=0 also A nicht invertierbar. Widerspruch!
Wenn man weiß, dass die Determinante gerade das Produkt der Eigenwerte ist kann man auch damit argumentieren. Wäre 0 ein Eigenwert, wäre ja schon die Determinante gleich 0.
Dunkler

Dunkler

20:25 Uhr, 09.11.2014

Antworten
Guten Tag,
erstmal danke für Eure schnellen Antworten.

Habe ich es nun richtig verstanden:
Um die Eigenwerte zu bekommen, berechne ich λ so,
dass die Determinante der charakteristischen Matrix =0 wird.

Benötige ich jedoch kein λ, ist es also =0,
dann weiß ich, dass die „ausgangs“ Matrix, A, schon eine Determinante von 0 hat.

Da diese aber zum Invertieren ungleich 0 sein muss, weiß ich dass es nicht geht,
bzw. die Ausgangsthese stimmt.


Drei Fragen hätte ich dann noch.
-Gibt es dann überhaupt den Fall, dass λ1 =0 und λ2 = XYZ ist?
[Ich meine aber dass ich das schon mal hatte...]
-Und wenn ja, wie passt dies dann in obiges Bild?

-(@Shipwater) „Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte“.
Das verstehe ich leider nicht so ganz.

Nach meiner eher ergebnislosen Recherche,
habe ich mir mal eben ein Beispiel gebastelt:

\begin{matrix}
3&2&2 \\
2&2&1 \\
1&4&2
\end{matrix} [n. perfekt, aber man erkennt´s...]


DetA =6
Det(A-λ*E) =0; für Lamda = 6,187… .
(3-λ)(2-λ)(2-λ) =-55,87

Hättest du mir eine kurze, für nicht Mathestudenten geeignete,
Erklärung für diesen Sachverhalt?
(Ich habe eine relativ ausführlich Herleitung gefunden, aber nach der Xten Zeile ertappt man sich dann doch dabei das man es einfach nur abnickt.)

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler
Antwort
anonymous

anonymous

21:13 Uhr, 09.11.2014

Antworten
Nach dem Beweis von deiner gestellten Aufgabe ist doch dann klar, dass der Fall
λ1=0 und λ2 =xyz nicht eintreten kann, denn es besagt ja:
Falls A invertierbar ist, so sind ALLE Eigenwerte ungleich 0.



Für die Eigenwerte musst du das charakteristische Polynom der Matrix gleich null setzen. Die Nullstellen sind dann die Eigenwerte.


Sei A(n,K) eine inv. Matrix, λ ein Eigenwert und x der zugehörige Eigenvektor (wobei x nicht der Nullvektor ist)
Allgemein gilt nach Definition dann ja:

A⋅x=λ⋅x

Das ist ja gerade das schöne bei Eigenwerten.

Angenommen λ=0
⇒A⋅x=0

Da wir aber gesagt haben, dass x nicht der Nullvektor ist, sind nicht alle x1,x2,...,xn gleich null. Das bedeutet ja gerade, dass die Spalten von der Matrix A linear abhängig sind. Weiter kann man dann folgen, dass det(A)=0 sein müsste. Der schon erwähnte Widerspruch.


Für den Fall, dass die Matrix A diagonalisierbar ist, kann man A auch so darstellen:

S⋅D⋅S-1 wie ich oben beschrieben habe. D ist eine Diagonalmatrix mit Eigenwerten auf der Diagonalen.
Die Determinante einer Diagonalmatrix ist einfach nur das Produkt aller Diagonaleinträge. Also ist det(D) automatisch das Produkt der Eigenwerte.


Was soll das bedeuten?:
bzw.
wie kommst du auf die letzte Zeile?
(3-λ)(2-λ)(2-λ) =-55,87
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