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Matrix mit Parameter ( Eigenwerte berechnen )

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinanten, Matrizenrechnung

VILSA1990 aktiv_icon

17:46 Uhr, 02.02.2011

Guten Abend, ich kann folgende Aufgabe nicht lösen :
Gegeben sei die Matrix

A = (\begin{matrix} a,1 \\ 1,1 \end{matrix})

mit

a \in ℝ

(i)

Berechnen Sie in Abhängigkeit des Parameters a die Eigenwerte von A und zeigen sie damit, dass A stets reele Eigenwerte hat.
Hinweis: Ein Verweis auf die Symmetrie von A reicht hier nicht! Achten Sie darauf, Ihre Argumentation korrekt und nachvollziehbar aufzuschreiben.
(ii) Berechnen Sie für den Fall

a = 1

eine Orthonormalbasis des

ℝ^{2}

aus Eigenvektoren von A.
Hinweis : Achten Sie auf eine formal korrekte Schreibweise !

Das Problem ist (i)

,

ich zeig mal meine Rechnung:
Ich bestimme

det (A - λ \cdot I) \vec{x} = 0

Dann sieht die Matrix so aus :

(\begin{matrix} a - λ,1 \\ 1,1 - λ \end{matrix}),

jetzt krieg ich die Determinante ja so :

(a - λ) (1 - λ) - 1 = λ^{2} - λ - λ \cdot a - 1 + a

Aber hier krieg ich keine Lösung...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathemaus999

18:06 Uhr, 02.02.2011

Also,

du musst jetzt die quadratische Gleichung lösen. Ich nehme mal

x

statt

λ,

da ich nicht weiß, wie ich das hinbekomme.

x^{2} - (1 + a) \cdot x - 1 + a = 0

x = \frac{1 + a}{2} \frac{+}{-}

wurzel

(\frac{{(1 + a)}^{2}}{4} - a + 1)

Jetzt bestimmst du zuerst die Diskriminante.

\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot a + \frac{1}{4} \cdot a^{2} - a + 1 =

\frac{1}{4} \cdot a^{2} - \frac{1}{2} \cdot a + \frac{5}{4} =

\frac{1}{4} \cdot (a^{2} - 2 \cdot a + 4) + \frac{1}{4} =

\frac{1}{4} \cdot {(a - 1)}^{2} + \frac{1}{4}

Und der Ausdruck ist immer positiv. Also gibt es zwei reelle Lösungen der Gleichung und damit zwei reelle Eigenwerte.

Grüße

VILSA1990 aktiv_icon

19:24 Uhr, 02.02.2011

Dickes Dankeschön, hätte nicht gedacht, dass ich damit echt in die pq-Formel reinmuss, dachte ich hätte einen Fehler gemacht, aber gut, jetzt weis ich, dass ich einfach durchrechnen muss.

VILSA1990 aktiv_icon

13:34 Uhr, 14.02.2011

Ich glaube beim letzten Umformungsschritt hast du einen Fehler gemacht
Bis zu :

λ_{1,2} : \frac{a + 1}{2} \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4} - \frac{1}{2} a + \frac{5}{4}}

komme ich auch .
Aber dann rechne ich einfach

\cdot 4

in der Klammer und dann passt es bei mir irgendwie nichtmehr
aber ich darf doch aus

: \frac{a^{2}}{4} - \frac{1}{2} a + \frac{5}{4} = a^{2} - 2 a + 5

machen ?

λ_{1,2} : \frac{a + 1}{2} \pm \sqrt{a^{2} - 2 a + 5}

ist aber falsch.
Wo ist da der Fehler ?

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