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Frage zur Lösung dieser Matrix mit einer Variablen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

MajorTOM aktiv_icon

11:22 Uhr, 16.02.2011

Hallo Leute,

ich habe folgende Frage bei der ich nicht weiterkomme.

Aufgabe:

Für eine reelle Zahl

α

sei das lineare Gleichungssystem

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0

x_{1} + α x_{2} + x_{3} = 4

α x_{1} + 3_{x} 2 + α_{x} 3 = - 2

gegenben. Führ welche Werte von

α

hat dieses System keine, genau eine bzw. unendliche viele Lösungen? Bestimmen Sie auch für jeden Fall die zugehörigen Lösungsmengen.

- - -

Also ich habe als Ergebnis folgendes heraus:

Unendlich viele Lösungen:

L = {(- t - 1, 1, t)}, t \in R

Keine Lösung:

L = {},

bei

α = 3

oder

α = 1

Wann aber hat diese Matrix genau eine Lösung?
Ich komme hierbei zu keinem Ergebnis.

Vielen Dank für jede Hilfe.

Liebe Grüße

MajorTOM

smoka

12:49 Uhr, 16.02.2011

Hallo,

das hier sollte Deine Frage beantworten:
http//de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem#L.C3.B6sbarkeit

Gruß,

smoka

MajorTOM aktiv_icon

13:00 Uhr, 16.02.2011

Für mich ist das alles Fachchinesisch und verstehe nichts davon. Das hat mir bei meiner Frage und Rechnung kein Stück weitergeholfen. Vielen Dank für deine Hilfe.

Bummerang

13:02 Uhr, 16.02.2011

Hallo,

schau Dir die Gleichungen doch alle mal genauer an, man kann sie etwas umstellen und sieht es dann vielleicht besser:

x_{1} + x_{3} + x_{2} = 0

x_{1} + x_{3} + a \cdot x_{2} = 4

a \cdot x_{1} + a \cdot x_{3} + 3 \cdot x_{2} = - 2

oder noch mit Klammern?

(x_{1} + x_{3}) + x_{2} = 0

(x_{1} + x_{3}) + a \cdot x_{2} = 4

a \cdot (x_{1} + x_{3}) + 3 \cdot x_{2} = - 2

Man kann sehen, dass es keine spezielle Anforderung an

x_{1}

und

x_{3}

gibt! Es gibt nur eine Anforderung für die Summe aus beiden. Hat man die Summe berechnet, kann man sie immer auf unendlich viele Art und Weisen in Summanden aufteilen. Man sieht auch an dieser Art der Gleichungsdarstellung, dass die beiden ersten Gleichungen auf der linken Seite gleich sind, wenn

a = 1

ist. Da die beiden rechten Seiten dazu unterschiedlich sind, ist auch klar, dass für

a = 1

ein Widerspruch besteht, also keine Lösung existiert! Und ebenfalls sieht man, dass die dritte Gleichung auf der linken Seite das dreifache der ersten Gleichung ist, wenn

a = 3

ist. Auch hier sind die rechten Seiten wieder unterschiedlich und damit das Gleichungssystem nicht lösbar. Für die Lösung des Gleichungssystems nimmt man sich die einfacheren ersten beiden Zeilen her, da ergibt sich:

a \cdot x_{2} - x_{2} = 4 \Rightarrow (a - 1) \cdot x_{2} = 4 \Rightarrow x_{2} = \frac{4}{a - 1};

Division erlaubt, da

a = 1

bereits als unlösbar abgehandelt wurde!

Aus der ersten Gleichung ergibt sich:

x_{1} + x_{3} = - \frac{4}{a - 1}

Sei

x_{1} = t,

dann gilt:

t + x_{3} = - \frac{4}{a - 1}

x_{3} = - t - \frac{4}{a - 1}

Die Lösungsmenge ist:

L = {(t; \frac{4}{a - 1}; - t - \frac{4}{a - 1})}

NACHTRAG!!!

Bei einer Probe stellt sich heraus, dass die angegebene Lösung für die ersten beiden Gleichungen zur Identität

(0 = 0

und

4 = 4)

führt. Bei der dritten Gleichung führt das aber zu:

a \cdot t + 3 \cdot \frac{4}{a - 1} + a \cdot (- t - \frac{4}{a - 1}) = - 2

a \cdot t + 2 \cdot \frac{4}{a - 1} + \frac{4}{a - 1} - a \cdot t - \frac{4 \cdot a}{a - 1} = - 2

\frac{8}{a - 1} - \frac{4 \cdot a - 4}{a - 1} = - 2

\frac{8}{a - 1} - 4 \cdot \frac{a - 1}{a - 1} = - 2

\frac{8}{a - 1} - 4 = - 2

\frac{8}{a - 1} = 2

\frac{8}{2} = a - 1

a = 4 + 1 = 5

Das heißt: Unendlich viele Lösungen gibt es nur für

a = 5

. Für alle anderen a ergibt sich ein Widerspruch durch das Gesamtsystem, während

a = 1

und

a = 3

schon bei 2 Gleichungen zu einem Widerspruch geführt haben.

smoka

13:17 Uhr, 16.02.2011

"Für mich ist das alles Fachchinesisch und verstehe nichts davon. Das hat mir bei meiner Frage und Rechnung kein Stück weitergeholfen. Vielen Dank für deine Hilfe."

Du beschäftigst Dich hier doch offensichtlich mit Mathematik. Das was unter dem angegebenen Link zu finden ist, ist kein Fachchinesisch, sondern eben Mathematik. Das ist wie mit Sprachen. Man kann keine Sprache lernen, wenn man keine Vokabeln lernt.
Wenn Du was nicht verstehst dann schau nach (das sollte die erste Option sein) oder frag nach.

In zwei Sätzen (auf der Wiki-Seite) ist Deine Frage kurz und prägnant beantwortet:
"Dabei ist das lineare Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Entspricht der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix auch noch der Anzahl der Unbekannten, so besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung."

Ist doch ganz easy. Bestimme

α

so, dass die Ränge der beiden Matrizen übereinstimmen, dann hat das LGS genau eine Lösung.

Bummerang

13:37 Uhr, 16.02.2011

Hallo,

"Ist doch ganz easy. Bestimme α so, dass die Ränge der beiden Matrizen übereinstimmen, dann hat das LGS genau eine Lösung."

Oder stelle so wie hier fest, dass die Ränge niemals übereinstimmen können!

MajorTOM aktiv_icon

14:36 Uhr, 16.02.2011

@ Bummerang: also kann man a und

b

gar nicht so wählen, dass es eine einzige lösung hat.

und wie sieht es aus mit meinen anderen ergebnissen? die sind also korrekt ja?

Bummerang

14:38 Uhr, 16.02.2011

Wo kommt das

b

jetzt auf einmal her???

MajorTOM aktiv_icon

15:59 Uhr, 16.02.2011

sorry meinte natürlich nur a hab mich verschrieben.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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