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Matrix symmetrisch und nilpotent, dann A=0
Universität / Fachhochschule
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Tags: Gruppen, Körper, Nilpotent, polynom, Relation., Ring, symmetrisch
 
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Aufgabe: Sei A ∈ M(n×n;R) symmetrisch und nilpotent. Zeigen Sie, dass dann gilt. Problem/Ansatz: Diesbezüglich habe ich schon erste Ideen gesammelt. A ist symmetrisch, wenn A ist nilpotent, wenn es ein ∈ so dass Wir wissen, dass A nilpotent ist, also existiert ein so dass Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass die kleinste natürliche Zahl ist, für die Das heißt A^(k-1)≠0, aber . Da A symmetrisch ist, gilt auch Wir betrachten die Eigenwerte von A. Sei λ ein Eigenwert von A mit Eigenvektor . Dann gilt: Av=λv Ist dies zunächst überhaupt ein richtiger Gedankengang? Ich bitte um Hilfe. Danke im Voraus. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ist bekannt, dass reelle symmetrische Matrizen (orthogonal) diagonalisierbar sind? Falls ja, dann arbeite mit der zugehörigen Diagonalmatrix! Mfg Michael |
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Ja, das ist mir bekannt. Da A symmetrisch ist, kann sie orthogonal diagonalisiert werden. Es existiert eine orthogonale Matrix und eine Diagonalmatrix mit: A=PDP^T, wobei die Diagonaleinträge von die Eigenwerte von A sind. Da alle Eigenwerte λ=0 sind, ist Schlussfolgerung: A=PDP^T=P0P^T Somit haben wir gezeigt, dass ist. Passt das ungefähr? Einen anderen Ansatz bezüglich der Diagonalisierbarkeit fällt mir gerade nicht ein. |
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Hallo, findest du denn selbst nicht, dass es passt? Mfg Michael |
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Doch, das könnte schon so passen. |
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> Da alle Eigenwerte Dass dies für nilpotente Matrizen gilt, hattet ihr vorher schon mal begründet? Nicht, dass das eine große Sache ist, aber da man das ja auch vom ganzen Beweis sagen kann, ist diese Stelle neben der Diagonalisierbarkeit m.E. eine der wichtigsten im Beweis. |
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