 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Matrix_Vektor Produkt nach Vektor ableiten
Matrix_Vektor Produkt nach Vektor ableiten
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
|
  |
|---|
|
Hallo beisammen, Ich habe folgendes Problem: geg: a= Spaltenvektor, b=Spaltenverktor, c= Matrix. Die Dimensionen passen zusammen ich möchte das produkt [a_transponiert * c * b ] nach b ableiten. Wie geht das ? Grüße Lupara  |
|
 |
|
Hallo Lupara, für mich stellt sich die Situation so dar. Die Matrix c steht für eine lineare Abbildung von R^n ---> R^m; c hat also n Spalten und m Zeilen. Der Vektor b hat n Zeilen, der Vektor a hat m Zeilen also a^T (transponiert) m Spalten und 1 Zeile. a^T steht für eine lineare Abbildung von R^m ---> R. Du hast also eine Komposition von linearen Abbildungen nach der Unbekannten der Ausgangsabbildung zu differenzieren. Wenn Du nun das Produkt a^T * c bildest, erhältst Du einen Vektor mit n Spalten und 1 Zeile. Dieser Vektor stellt die partiellen Ableitungen nach den Komponenten von b dar. Gruß Rentnerin |
 |
|
hallo rentnerin kann ich a^T*c und c^T*a addieren? wenn ja wie und wieso? danke und lg |
|
|
| Wegen (a^T * c)^T = c^T * (a^T)^T = c^T * a, können a^T * c und c^T * a nur addiert werden, wenn Zeilen- und Spaltenzahl von einem der beiden Produkte übereinstimmen, d.h. wenn a^T * c eine quadratische Matrix ist. |
|
|
|
ok. vielen dank. noch was anderes: wenn ich einen vektor nach sich selbst ableite, kommt dich die einheitsmatrix raus? und wenn ich einen vektor^T nach sich selber ableite, kommt dann auch die einheitsmatrix raus? grüße |
|
|
|
im anhang ist y und theta ein spalten vektor und phi eine matrix. ich versteh nicht wie die ableitung gebildet wird.... vielleicht kannst du mir s doch erklären, grüße  |
|
|
|
Zum Anhang: Bleiben wir in der Situation, dass C : R^n ---> R^m eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen ist, dann ist Theta (Abkürzung x) ein Vektor mit n Komponenten und y ein Vektor mit m Komponenten. Dann sollst Du eine Komposition G o F von den beiden Abbildungen F : R^n ---> R^m, F(x) = y - C * x G : R^m ---> R, G(z) = SP(z,z) (SP ist das Skalarprodukt) also G(F(x)) = SP(y - C * x,y - C * x) nach x differenzieren. Es gilt: SP(y - C * x,y - C * x) = (y - C * x)^T * (y - C * x) (Definition von SP) = y^T * y - y^T * C * x - (C * x)^T * y - (C * x)^T * (C * x) (Summen und Transponierte) = y^T * y - y^T * C * x - x^T * C^T * y - x^T * C^T * C * x (Produkte und Transponierte) = y^T * y - y^T * C * x - (x^T * C^T * y)^T - x^T * C^T * C * x (jeder Summand ist ein eindimensionaler Ausdruck und daher mit seinem Transponierten identisch) = y^T * y - 2 * y^T * C * x - x^T * C^T * C * x. Jetzt stellt sich die Frage, ob nicht n=1 ist, weil es sich um die partielle Ableitung nach x handelt. Partielle Ableitungen nach Vektoren sind mir nicht geläufig. Aus dem Anhang ist kein Hinweis erkennbar. Für n=1 ist die Ableitung nun trivial, da es sich bei y^T * y, bei y^T * C und bei C^T * C jeweils um reelle Zahlen handelt. Die Ableitung des ersten Terms ist Null, die des zweiten Terms - 2 * y^T * C (linearer Term) und die des dritten Terms 2 * C^T * C * x (quadratischer Term). Es wäre also wichtig, weitere Informationen über J, Theta, Phi bzw. y zu bekommen, wenn n nicht 1 sein soll. Gruß Rentnerin |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
493447
493279