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Matrixrechnung mit komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: komplexen Zahlen, Matrix, Matrizenrechnung

Thisisit aktiv_icon

14:35 Uhr, 27.01.2017

Hallo,
ich hab schwierigkeiten bei Matrizen mit komplexen Zahlen zu rechnen. Wir dürfen keine wissenschaftlichen Taschenrechner benutzen bei solchen Aufgaben.

Ich wüsste nicht wie ich so eine Aufgabe lösen könnte. Kann mir jemand dabei helfen?

Als erstes würde ich umformen auf

X

bevor ich rechne, aber dabei gibt es bei Matrizen auch bestimmte Regeln?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Thisisit aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.01.2017

Umformung:

X = (4 A + B) \cdot C^{- 1}

mihisu aktiv_icon

17:45 Uhr, 27.01.2017

Du hast bereits richtig nach

X

aufgelöst.

"Als erstes würde ich umformen auf

X

bevor ich rechne, aber dabei gibt es bei Matrizen auch bestimmte Regeln?"

Im Grund kann man mit Matrizen mehr oder weniger so rechnen, wie man es aus der Schule für Zahlen gewohnt ist. Allerdings muss man bei zwei Punkten besonders aufpassen:
1. Die Multiplikation zweier Matrizen ist im Allgmeinen nicht kommutativ.
2. Nicht jede Matrix ist invertierbar.

Hier ist jedoch

C

beispielsweise invertierbar, da

det (C) = 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 = 3 \neq 0

ist, also existiert

C^{- 1}

.

\\\\

Da du bereits richtig nach

X

aufgelöst hast musst du jetzt natürlich noch

(4 A + B) \cdot C^{- 1}

berechnen.

C^{- 1}

kann man mit dem Gaußschen-Eliminationsverfahren berechnen. Oder man kennt die Formel

{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

für invertierbare

2 \times 2

-Matrizen.

Dann ist:

C^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ \frac{4}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix})

Für

4 A + B

solltest du zunächst die in Polarform angegebenen Matrixeinträge in der Form

a + b j

aufschreibst. Danach multiplizierst du jeden Eintrag von A mit 4 um

4 A

zu erhalten.

4 A + B

erhälst du dann komponentenweise die Einträge von

B

zu den Einträgen von 4 addierst.

Schließlich musst du nur noch die Matrixmultiplikation

(4 A + B) \cdot C^{- 1}

ausführen und die Einträge wie gefordert in Polarform umschreiben.

"Wir dürfen keine wissenschaftlichen Taschenrechner benutzen bei solchen Aufgaben."

Dann wird der letzte Schritt schwierig. Denn dann kann man den Winkel für den oberen linken Matrixeintrag nicht ausrechnen. Dieser ist

a r c t a n (\frac{93 \cdot \sqrt{2} - 93 \cdot \sqrt{6} + 190}{93 \cdot \sqrt{2} + 93 \cdot \sqrt{6} + 125}) + 180^{\circ} \approx {90,95}^{\circ}

.

Ergebnis:

X = (\begin{matrix} \frac{- 93 \cdot \sqrt{6} - 125 - 93 \cdot \sqrt{2}}{15} + \frac{93 \sqrt{6} - 190 - 93 \sqrt{2}}{15} j & - \frac{7}{3} - \frac{8}{3} j \\ \frac{11}{3} j & - \frac{1}{3} j \end{matrix})

X \approx (\begin{matrix} 32,89 ∠ {190,95}^{\circ} & \frac{\sqrt{113}}{3} ∠ {228,81}^{\circ} \\ \frac{11}{3} ∠ 90^{\circ} & \frac{1}{3} ∠ 270^{\circ} \end{matrix})

Thisisit aktiv_icon

21:44 Uhr, 27.01.2017

Vielen dank hat mir sehr geholfen!

Eine kurze Nebenfrage:
Eine reelle Zahl mit einer Komplexen zahl multiplizieren:
wie muss ich den Komplexen Teil betrachten:

- 1 \cdot - 6 - 3 j = 6 - 3 j

oder mit beiden Multiplizieren:

- 1 \cdot (- 6 - 3 j) = 6 + 3 j

Sind reelle Zahlen mit keiner komplexen Zahl so zu betrachten?

5 + 0 j

mihisu aktiv_icon

22:34 Uhr, 27.01.2017

Wenn du die reelle Zahl

- 1

mit der komplexen Zahl

- 6 - 3 j

multiplizieren willst, so erhält man

- 1 \cdot (- 6 - 3 j) = (- 1) \cdot (- 6) + (- 1) \cdot (- 3 j) = 6 + 3 j

In diesem Fall werden also sowohl Realteil, als auch Imaginärteil, mit der reellen Zahl multipliziert. Denn auch in den komplexen Zahlen gilt das Distirbutivgesetz

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c,

in diesem Fall für die Zahlen

a = - 1

und

b = - 6

und

c = - 3 j

.

\\\\

Man kann ohne Probleme

0 \cdot j

addieren. Denn

0 \cdot j = 0

ist das neutrale Element der Addition. Also ist beispielsweise:

5 = 5 + 0 j

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