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Matrizen & Lineare Gleichungssysteme

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Austauschprozess, LGS, LGS gauß, Matrix, Matrizenmultiplikation, Matrizenrechnung, Übergangsmatrix, Übergangsprozesse

Nico^W^

19:18 Uhr, 09.06.2015

Guten Abend liebes Forum,

ich habe gerade ein kleines Problem mit Matrizen und sich den daraus ergebenden Gleichungssystemen.
Ich habe 3 Orte

A, B

und

C

auf die sich insgesamt

3900

Menschen verteilen.
Der Bestandsvektor am Anfang ist dieser, da am Anfang alle

3900

Leute bei A stehen.

(\begin{matrix} 3900 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Jeden Monat verteilen sich die Menschen. Dazu gibt es diese Übergangsmatrix:

(\begin{matrix} 0,25 & 0,4 & 0,25 \\ 0 & 0,6 & 0,5 \\ 0,75 & 0 & 0,25 \end{matrix})

Wenn man nun die Übergangsmatrix mit dem Bestandsvektor multipliziert erhält man die Verteilung auf die 3 Orte nach einem Monat. Soweit wusste ich allein weiter nun die Fragestellung:

a)

Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung (auf die 3 Orte

A B C)

mit insgesamt

3900

Leuten gibt, die im folgenden Monat gleich bleibt.

Hinter der Frage steht also folgenden Matrix Rechnung:

(\begin{matrix} 0,25 & 0,4 & 0,25 \\ 0 & 0,6 & 0,5 \\ 0,75 & 0 & 0,25 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

Wobei

a, b, c

hier die Anzahl an Menschen an dem betreffenden Ort ist.

Um das herauszufinden habe ich die Matrixschreibweise in ein Lineares Gleichungssystem umgewandelt:

1 .) 0,25 a + 0,4 b + 0,25 c = a

2 .) 0 a + 0,6 b + 0,5 c = b

3 .) 0,75 a + 0 b + 0,25 c = c

Diese wären meine 3 Gleichungen. Allerdings frage ich mich ob es noch eine 4 Bedingung geben könnte und zwar

x + y + z = 3900

So steht es ja in der Aufgabe aber dann hätte man mehr Gleichungen als Variablen und somit ein Überbestimmtes Gleichungssystem. Sollte ich diese Bedingung mit reinnehmen ?
Beim lösen des LGS habe ich auch schon angefangen. Ich habe die einzelnen Variablen schon aufgelöst:

a = c

c = a

b = - 0,15625 \cdot a

Ich hoffe mal, dass das stimmt.Ich poste das allerdings nur damit ihr ein bisschen weniger Arbeit habt, sicher bin ich mir leider nicht. Ab dieser Stelle komme ich nicht weiter. Bitte helfen :-) Wie kann ich denn jetzt die Verteilung

a, b, c

ergeben unter den

3900

Leuten ?

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Matrizen - Multiplikation

Roman-22

19:41 Uhr, 09.06.2015

Dein Ansatz ist grundsätzlich richtig, allerdings scheinst du dich beim Lösen des Systems verrechnet zu haben.
Es stimmt jedenfalls, dass es keine eindeutige Lösung gibt.

c = a

ist richtig, aber es sollte sich

b = \frac{5}{4} \cdot a

einstellen.

Na, und aus

a + b + c = 3900

kannst du dann, nach Einsetzen für

b

und

c,

den Wert für a ausrechnen.

Nico^W^

20:00 Uhr, 09.06.2015

Vielen Dank Roman-22 !
Die Endverteilung auf die 3 Orte

A B C

ist:

(\begin{matrix} 1200 \\ 1500 \\ 1200 \end{matrix})

Ich werde mir jetzt ansehen wieso meine Rechnung für die Defnition von

b

einen falschen Wert geliefert hat :-)

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