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Matrizen auf Äquivalenz prüfen

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Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Äquivalenz, Determinant, Eigenvektor, Eigenwert, Matrizenrechnung

Manuel91 aktiv_icon

19:49 Uhr, 22.10.2017

Hey Leute, habe folgendes Problem:

"

(a)

Gegeben seien zwei Matrizen

A, B,

die zur selben Diagonalmatrix

D

äquivalent sind,

d . h

D = S^{- 1} \cdot A \cdot S

und

D = T^{- 1} \cdot B \cdot T

mit geeigneten regulären Matrizen

S

und T. Zeigen Sie, dass dann bereits A und

B

äquivalent zueinander sein müssen!

(b)

Zeigen Sie, dass die Matrizen

A = (\begin{matrix} 4 & 1 \\ - 2 & 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 3 & - 3 \\ 0 & 2 \end{matrix})

zur selben Diagonalmatrix äquivalent sind und bestimmen Sie eine Matrix

P

derart, dass

B = P^{- 1} \cdot A \cdot P

!"

Zu Punkt

a)

weiß ich nicht genau wie ich das allgemein zeigen soll. Ich habe nur gelesen, dass zwei Matrizen äquivalent zueinander sind wenn sie denselben Rang haben, stimmt das soweit?

Zu Punkt

b)

habe ich von beiden Matrizen die Eigenwerte- und vektoren ausgerechnet und da beide die Eigenwerte 3 und 2 besitzen sind sie ja schon einmal zur selben Diagonalmatrix, nämlich

(\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

äquivalent.
Nur wie genau finde ich die besagte MAtrix P?

Würde mich über Lösungsansätze freuen, Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:06 Uhr, 22.10.2017

"Ich habe nur gelesen, dass zwei Matrizen äquivalent zueinander sind wenn sie denselben Rang haben, stimmt das soweit?"

Das stimmt nur in eine Richtung: äquivalent => gleicher Rang.
Aber in andere Richtung, daher hilft es hier nicht.
Aber es geht in a) einfach direkt:

D = S^{- 1} A S

S D S^{- 1} = A

A = S D S^{- 1} = S T^{- 1} B T S^{- 1} = (T S^{- 1}) - 1 B (T S^{- 1})

.
Also,

A

und

B

äquivalent.

"Nur wie genau finde ich die besagte MAtrix P?"

Finde zuerst die Matrizen

S

und

T

so, dass

D = S^{- 1} A S

und

D = D = T^{- 1} B T

, dann wird

P

ähnlich zu berechnen sein wie in a).
Für

S

und

T

gibt's Standardverfahren über Eigenvektoren.

Manuel91 aktiv_icon

20:31 Uhr, 22.10.2017

Nach dem letzten

=,

steht da

(T \cdot S^{- 1}) \cdot (- 1) \cdot B \cdot (T \cdot S^{- 1})

oder soll das

{(T \cdot S^{- 1})}^{- 1} \cdot B \cdot (T \cdot S^{- 1})

bedeuten?

Verstehe diesen Umformungsschritt leider nicht ganz.

Ok, also ich bilde dabei einfach die Matrizen aus den Eigenvektoren sowie deren Inverse und versuche mich an den Umformungen, dann beginne ich einmal damit, Danke!

DrBoogie aktiv_icon

20:40 Uhr, 22.10.2017

Es gibt diese Regel:

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

.
Damit gilt:

(T S^{- 1})^{- 1} = (S^{- 1})^{- 1} T^{- 1} = S T^{- 1}

, denn Inverse von Inverse ist die Matrix selber.

Also ja, es sollte hoch

- 1

sein.

Manuel91 aktiv_icon

20:55 Uhr, 22.10.2017

Achso, das heißt in diesem Fall also, ich habe

A = {(T \cdot S^{- 1})}^{- 1} \cdot B \cdot (T \cdot S^{- 1}) \to A = (T^{- 1} \cdot S) \cdot B \cdot (T \cdot S^{- 1})

und wenn ich einmal

(T^{- 1} \cdot S) \cdot B

rechne und das Ergebnis wieder mal

(T \cdot S^{- 1})

erhalte ich nur B?

(T^{- 1} \cdot S)

multipliziert mit

(T \cdot S^{- 1})

hebt sich doch auf und ergäbe die Einheitsmatrix oder kann ich das bei einem Matrixprodukt nicht anwenden? Grundsätzlich gilt ja doch die Regel

T^{- 1} \cdot T

oder umgekehrt = Einheitmsatrix.

DrBoogie aktiv_icon

21:01 Uhr, 22.10.2017

S T^{- 1} \neq T^{- 1} S

, daher stimmt Deine Rechnung nicht.

Manuel91 aktiv_icon

21:13 Uhr, 22.10.2017

Und wie kann ich dann von

A = {(T \cdot S^{- 1})}^{- 1} \cdot B \cdot (T \cdot S^{- 1})

darauf schließen, dass A und

B

äquivalent sind? Sorry, aber das verstehe ich nicht ganz.

Ich habe auch schon herumprobiert und weiß leider nicht wie ich im Punkt

B

umformen muss um meine Matrix

P

zu erhalten...

Danke trotzdem schon für all die bisherige Hilfe!

DrBoogie aktiv_icon

21:34 Uhr, 22.10.2017

A

und

B

sind per Definition äquivalent, wenn eine Matrix

Z

existiert, so dass

A = Z^{- 1} B Z

. In diesem Fall spielt

T S^{- 1}

die Rolle von

Z

DrBoogie aktiv_icon

21:35 Uhr, 22.10.2017

Es gibt sogar Online-Rechner für solche Aufgaben, kuck hier:
matrixcalc.org/de/#diagonalize%28%7B%7B4,1%7D,%7B-2,1%7D%7D%29

Manuel91 aktiv_icon

14:20 Uhr, 23.10.2017

Ich glaub soweit hab ich das verstanden, danke!

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