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Matrizen und Äquivalenzrelationen
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Äquivalenzrelation, Matrizenrechnung
 
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Hallo, in der Uni haben wir folgende Aufgabe bekommen: Für Matrizen A,B schreibe A~B, wenn es invertierbare Matrizen und und gibt mit B = LAR. Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation auf ist. Ich weiß, dass für eine Äquivalenzrelation die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität gelten. Um den Beweis zu führen, nehme ich z.B. an, dass A = LAR ist. Um einen Beweis führen zu können, brauche ich ja auch eine Voraussetzung, mit deren Hilfe ich zeige ob die Annahme stimmt. Was nehme ich aber als Voraussetzung? Mir fehlt irgendwie die Idee, wie ich den Beweis anfangen soll.. Ich würde mich freuen, wenn von euch jemand einen Tipp hat. Vielen Dank im Voraus, Max Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"Um einen Beweis führen zu können, brauche ich ja auch eine Voraussetzung, mit deren Hilfe ich zeige ob die Annahme stimmt. " Voraussetzung? :-O Keine Ahnung, was Du meinst. Reflexivität: , denn mit -Einheitsmatrix. Symmetrie: => => => . Transitivität selber... |
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Vielen Dank für deine Antwort. Das mit der Voraussetzung hat uns mal eine Professorin so erklärt... Ich habe mir für die Transitivität Folgendes überlegt: A ~ B => B = LAR B ~ C => C = L'BR' B = LAR in C = LBR eingesetzt: C = L'LARR' = (L'L)A(RR') = L''AR'' => A~C mit L'' = L'L und R'' = RR' Funktioniert das so, oder bin ich da auf dem Holzweg? |
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Doch, ist richtig. Vielleicht noch sagen, dass und invertierbar sind, als Produkte von invertierbaren. |
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Super, danke! Eine weitere Teilaufgabe lautet: "Wieviele Äquivalenzklassen bezüglich ~ gibt es?" Ich habe mir überlegt Da es ja unendlich viele beliebige Mengen aus gibt, müsste es doch auch unendlich viele Äquivalenzklassen geben, oder? |
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Nein, es gibt nur endlich viele Klassen. Hier muss man Elementarumformungen betrachten, denn jede Zeilenumformung ist Multiplikation von links mit einer Elementarmatrix und jede Spaltenumformung ist Multiplikation von rechts mit einer Elementarmatrix, s. de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix Daher die Frage ist, auf welche einfachste Form kann man mit Elementarumformungen eine Matrix bringen und wie viele diese Formen es gibt. |
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Dazu habe ich folgendes gefunden: math-www.uni-paderborn.de~linalg1/vorlesung/folien_woche6_rest.pdf Warum und wie man A zuerst durch elementare Zeilenumformungen auf die Zeilenstufenform bringt, verstehe ich noch. Das ist ja die einfachste Form, auf die ich eine Matrix nur durch Zeilenumformungen bringen kann. Aber wie funktionieren jetzt die Spaltenumformungen? Ich verstehe auch nicht ganz was am Ende bezeichnet. Wir hatten das Thema Spaltenumformungen in der Vorlesung leider nur kurz angeschnitten und im Internet finde ich keine Erklärung, die mir das so richtig begreiflich macht... Dass man Spalten vertauschen, vervielfachen und miteinander addieren kann verstehe ich. Aber wie sieht die einfachste Form einer Matrix aus, die ich durch Spaltenumformungen erreichen kann? Und wie muss ich dabei vorgehen? |
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Am Ende hat man eine Diagonalform, wobei man immer oder auf der Diagonale hat und man kann alle oben haben und alle unten (falls welche gibt). Also es gibt nur verschiedene Äquivalenzklassen. Alle Matrizen vom gleichen Rang sind äquivalent. Hier kannst Du mehr darüber nachlesen: http//www.mathepedia.de/Aequivalente_Matrizen.aspx |
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So langsam verstehe ich es. Matrizen vom gleichen Rang haben die gleiche Äquivalenzklasse bzw. die gleiche Normalform. Aber wieso gibt es endlich viele Äquivalenzklassen? Es gibt doch auch unendlich viele mögliche Ränge, oder? Oder bezieht sich das auf ? Dann gibt es ja höchstens n-Ränge.. |
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Rang ist eine Zahl von bis . Also gibt's nur Klassen. ist natürlich eine fixe Zahl. UPDATE. Das gilt für quadratische Matrizen. Allgemein von bis . |
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Vielen Dank, meine Frage hat sich jetzt geklärt. |
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