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Maturabsp.: Kegelschnitte

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 7. Klassenstufe

Tags: Kegelschnitt, matura

vitareducta aktiv_icon

12:45 Uhr, 31.08.2010

Hi, hab eine kurze Frage:

Gegeben ist eine Hyperbel, die durch den Punkt

P (x = 5

und

y = 1)

geht und die Asymptote

y =

(Wurzel 5 durch

5)

hat. Weiters geht eine Parabel durch den Punkt P.
(Beide sind in erster HL!)

Zeige, dass hyp: x²-5y²=20 die Gleichung des Kegelschnitts ist und dass par: y²=

\frac{1}{5} x

die Gleichung des Kegelschnitts ist.

So, die Parabel hab ich mir schon aufgestellt, aber ich weiß einfach nicht, wie das bei der Hyperbel geht!

Kann mir das bitte jemand erklären, wie ich a und

b

der Hyp. ablesen kann?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Tarengrim aktiv_icon

13:48 Uhr, 31.08.2010

bei der Hyperbel mußt du den Punkt und die Asymptote kombiniern.

Ich würde übrigens die Asym. nicht so angeben sondern eher schreiben

y = \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot x

Das

x

ist für die Angabe sehr wichtig

Bei der Hyperbel in erster Hauptlage gilt für die Asymptote

y = \frac{b}{a} \cdot x

könntest du nun a und

b

errechnen oder brauchst mehr Hilfe?

vitareducta aktiv_icon

13:52 Uhr, 31.08.2010

Hi,

Ja, brauch ich. So weit war ich auch schon ;-)

vitareducta aktiv_icon

14:07 Uhr, 31.08.2010

Könntet ihr mir bitte schnell helfen?
Es ist echt dringend.

Nachdem die Asymp. ja

y = \frac{b}{a}

lautet, und die angegebene Asmp.

y = \frac{\sqrt{5}}{5}

lautet, hab ich geglaubt, dass ich a und

b

einfach ablesen kann,
nämlich dass

b = \sqrt{5}

und

a = 5

ist, aber da kommt dann eben nicht die richtige Gleichung, nämlich x²-5y²=20 raus

. .

Shipwater aktiv_icon

14:20 Uhr, 31.08.2010

Wie Tarengrim schon angemerkt hat, soll die Asymptote wohl

y = \frac{\sqrt{5}}{5} x

lauten und nicht nur

y = \frac{\sqrt{5}}{5}

.
Nun folgt daraus aber nicht

b = \sqrt{5}

und

a = 5

da ja zum Beispiel auch

b = \sqrt{5} \cdot 2

und

a = 5 \cdot 2

sein könnte.

\frac{b}{a}

wäre dann ja trotzdem wieder

\frac{\sqrt{5}}{5}

. Was aber daraus folgt ist

\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{5} \Leftrightarrow b = \frac{\sqrt{5}}{5} a

Die allgemeine Hyperbelgleichung ist

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Hier ersetzt du nun

b = \frac{\sqrt{5}}{5} a

dann erhältst du:

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{{(\frac{\sqrt{5}}{5} a)}^{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{\frac{1}{5} a^{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{5 y^{2}}{a^{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 5 y^{2}}{a^{2}} = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 y^{2} = a^{2}

Die Hyperbel soll noch durch

P (5 | 1)

gehen also:

5^{2} - 5 \cdot 1^{2} = a^{2}

20 = a^{2}

Und aus

b = \frac{\sqrt{5}}{5} a

folgt

b^{2} = 4

\Rightarrow \frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 y^{2} = 20

vitareducta aktiv_icon

14:42 Uhr, 31.08.2010

Hi,

kannst du mir das mit dieser Formel, b²x²-a²y²=a²b² erklären?

Also setz ich jetzt für b²

{(\frac{\sqrt{5}}{5} a)}^{2}

ein, oder?

ich versteh das mit der b²/x² - a²/y²

= 1

nicht so ganz

. .

Shipwater aktiv_icon

14:44 Uhr, 31.08.2010

Wo ist denn da der Unterschied?

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 | \cdot a^{2} b^{2}

x^{2} b^{2} - y^{2} a^{2} = a^{2} b^{2}

Und ja ich habe

b

mit

\frac{\sqrt{5}}{5} a

ersetzt.

vitareducta aktiv_icon

14:47 Uhr, 31.08.2010

Tut mir Leid, ich bin keine helle Leuchte in Mathe

...

Ich war verwirrt von den ganzen Brüchen und Wurzeln

. .

. ich versuchs nochmal, wenns nicht geht, melde ich mich.

Shipwater aktiv_icon

11:08 Uhr, 01.09.2010

Alles klar.

vitareducta aktiv_icon

21:41 Uhr, 05.09.2010

Mensch, war ich blöd.
Die Lösung ist ja sowas von offensichtlich

. .

. Danke!

Shipwater aktiv_icon

21:42 Uhr, 05.09.2010

Gern geschehen.

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