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Max Norm beweisen!

Universität / Fachhochschule

Tags: Norm

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11:40 Uhr, 11.11.2018

Guten Tag,

wir haben die Aufgabe die Normen

{| | . | |}_{1}, {| | . | |}_{2}

sowie

{| | . | |}_{\infty}

anhand der Definitionen für Norm zu Beweisen Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität (Dreiecksungleichung).

Bei

{| | . | |}_{1}

und

{| | . | |}_{2}

habe ich keine Probleme doch wie mache ich das für die Max-Norm also wenn ich einen Vektor gegeben habe

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})

dann ist ja

{| | v | |}_{\infty} = | 3 | = 3

Ich verstehe nicht wie ich das aufschreiben soll

: (

Bei der

{| | . | |}_{1}

habe ich es so gemacht:

{| | x | |}_{1} = \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} | = | x_{1} | + | x_{2} | + . .

+ | x_{n} | \geq 0

Als Nullvektor

x = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) \Rightarrow {| | 0 | |}_{1} = \sum_{k = 1}^{n} | 0 | = 0 + 0 . .

+ 0 = 0,

{| | x | |}_{1} = \sum_{k = 1}^{n} | x_{k} | = 0 \Rightarrow \forall k

:xk

= 0

so und wie mache ich das nun für die

{| | . | |}_{\infty}

mein Problem ist vor allem das ich nicht weiß wie ich es aufschreiben muss

: (

Bin für jede Hilfe sehr Dankbar :-)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Schok aktiv_icon

15:15 Uhr, 23.11.2018

Leider hat ja niemand geantwortet.

Denke ich habe es aber nun :-D)

{| | v | |}_{\infty} := max_{1 \leq i \leq n} | v_{i} |

zu zeigen ist:

{| | v | |}_{\infty} := max_{1 \leq i \leq n} | v_{i} | \geq 0

{| | v | |}_{\infty} = max_{1 \leq i \leq n} | v_{i} | = | v_{i} | \geq 0,

da Betragsfunktion Positiv! hier weiß ich nicht wie ich es aufschreiben muss.

noch zu zeigen die Aussage:

{| | v | |}_{\infty} = 0 \Leftrightarrow v = 0

{| | v | |}_{\infty} = 0 \Rightarrow v = 0

v = 0 \Rightarrow {| | v | |}_{\infty} = 0

jetzt noch:

{| | λ v | |}_{\infty} = | λ | \cdot {| | v | |}_{\infty}

{| | λ v | |}_{\infty} = max (1 \leq i \leq n) | λ v_{i} | = max_{1 \leq i \leq n} | λ | | v_{i} | = | λ | max_{1 \leq i \leq n} | v_{i} | = | λ | \cdot {| | v | |}_{\infty}

und noch:

{| | v + w | |}_{\infty} \leq {| | v | |}_{\infty} + {| | w | |}_{\infty}

{| | v + w | |}_{\infty} = max (1 \leq i \leq n) | | v + w | | \leq max_{1 \leq i \leq n} | | v | | + max_{1 \leq i \leq n} | | w | | = {| | v | |}_{\infty} + {| | w | |}_{\infty}

Stimmt das nun?

LG

pwmeyer aktiv_icon

16:37 Uhr, 23.11.2018

Hallo,

bei der Dreiecks-Ungleichung hast Du Dich verschrieben, weil Du

max | | v | |

schreibst, das macht aber keinen Sinn. Im übrigen hast Du ja nichts bewiesen, sondern nur die Behauptung hingeschrieben. Allerdings ist die Aussage auch recht einfach, so dass man sich streiten kann, wie ausführlich ein Beweis sein soll.

Ich würde es so machen:

\forall i = 1 . . n : | {(v + w)}_{i} | = | v_{i} + w_{i} | \leq | v_{i} | + | w_{i} | \leq {| | v | |}_{\infty} + {| | w | |}_{\infty} \Rightarrow

{| | v + w | |}_{\infty} = max_{i} | {(v + w)}_{i} | \leq {| | v | |}_{\infty} + {| | w | |}_{\infty}

Dabei habe ich zuächst die Dreiekcungleichung für reelle Zahlen benutzt, dann die Definition von

{| | . | |}_{\infty},

um eine obere Schranke für die Komponenten von

v + w

herzuleiten, nämlich

{| | v | |}_{\infty} + {| | w | |}_{\infty}

.

Gruß pwm

Schok aktiv_icon

18:09 Uhr, 23.11.2018

Danke auch hier für die schnelle und super antwort.

werde eher deine Variante nehmen.
Doch ich denke das gleiche Problem gestaltet sich oben bei der Positiven Definitheit! Dort schreib ich ja auch mehr oder weniger einfach nur die Aussage ab.

Wie soll man das den auch anders schreiben man könnte höchstens so argumentieren das wenn

v \neq 0

ist das dann eben nicht der Null Vektor raus kommt.

Stimmt das den überhaupt mit der Positiven Definitheit?

LG

Schok aktiv_icon

14:30 Uhr, 24.11.2018

Da hier auch keine Antwort mehr kam denke ich sollte es so stimmen bzw. lasse ich es so nun stehen!

yaroslav aktiv_icon

08:27 Uhr, 13.12.2024

Hier ist mein Beweis. VG Yaroslav

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