Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Maximaler Abstand von Ebene und Punkt

Maximaler Abstand von Ebene und Punkt

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Vektorraum

marina96lrt aktiv_icon

18:15 Uhr, 23.11.2015

Hallo,

ich hoffe ihr könnt mir bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen:

Gegeben ist der Punkt

P = (2,0,1)

und die Gerade

g = (2,0, - 1) + t \cdot (0,1,1)

R^{3}

. Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene durch

g

mit maximalen Abstand zu P.

Mein Lösungsansatz:

Ich habe mir gedacht, dass die Ebene durch

g

parallel zu einer Ebene durch

P

sein muss, damit der Abstand zwischen Punkt und Ebene maximal ist. Aber ich bin mir hier überhaupt nicht sicher...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Bummerang

18:20 Uhr, 23.11.2015

Hallo,

"Ich habe mir gedacht, dass die Ebene durch

g

parallel zu einer Ebene durch

P

sein muss, damit der Abstand zwischen Punkt und Ebene maximal ist."

Jede Ebene durch

g

ist parallel zu einer Ebene durch

P!

Was Du brauchst, ist der Punkt

P_{g}

auf

g,

der

P

am nächsten ist. Der Vektor zwischen

P

und

P_{g}

ist Normalenvektor auf

g

und auf der gesamten gesuchten Ebene! Vom finden des Vektors zur Hesse-Normalform ist es dann nicht mehr weit...

marina96lrt aktiv_icon

19:03 Uhr, 23.11.2015

Danke, für die schnelle Antwort.

Ich habe jetzt als erstes versucht Pg=(x1,x2,x3) zu bestimmen. Da ich weiß, dass Der Vektor zwischen

P

und Pg ein Normalenvektor auf

g

ist, bedeutet das, das der Richtungsvektor von

g

und der Vektor zwischen

P

und Pg senkrecht aufeinander stehen. Also ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren Null.

\Rightarrow (0 | 1 | 1) \cdot (x 1 - 2 | x 2 - 0 | x 3 - 1) = 0 \Rightarrow x 2 + x 3 - 1 = 0

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich auf

x 2

und

x 3

kommen soll oder darf ich jetzt einfach eine dieser Variablen

(z . B . : x 2)

frei wählen und die anderen dann anpassen?

Bummerang

00:35 Uhr, 24.11.2015

Hallo,

die Eigenschaft von

P_{g},

die für das Auffinden am besten geeignet ist, ist, dass

P_{g}

der Punkt auf

g

ist, der

P

am nächsten ist. Es gilt also:

| [(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})] - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) | \to m i n!

| (\begin{matrix} 2 + 0 \cdot t - 2 \\ 0 + 1 \cdot t - 0 \\ - 1 + 1 \cdot t - 1 \end{matrix}) | \to m i n!

| (\begin{matrix} 0 \\ t \\ t - 2 \end{matrix}) | \to m i n!

\sqrt{0^{2} + t^{2} + {(t - 2)}^{2}} \to m i n!

\sqrt{t^{2} + (t^{2} - 4 \cdot t + 4)} \to m i n!

\sqrt{2 \cdot t^{2} - 4 \cdot t + 4} \to m i n!

Wegen der strengen Monotonie der Wurzelfunktion ist das Minimum der Wurzel an der selben Stelle wie das Minimum des Radikanten. Deshalb:

2 \cdot t^{2} - 4 \cdot t + 4 \to m i n!

Notwendige Bedingung für das Minimum ist, Nullstelle der ersten Ableitung zu sein:

4 \cdot t - 4 = 0

4 \cdot t = 4

t = 1

\vec{0 P_{g}} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 + 0 \cdot 1 \\ 0 + 1 \cdot 1 \\ - 1 + 1 \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Damit ist der Normalenvektor

\vec{P P_{g}}

zu ermitteln!

marina96lrt aktiv_icon

07:54 Uhr, 24.11.2015

Danke für die ausführliche Antwort. Der Rechenweg ist sehr gut nachvollziehbar.
Das Einzige, was mich etwas verwirrt ist, warum der Punkt Pg am nächsten zu

P

sein muss, wenn doch der maximale Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmt werden soll.

Bummerang

09:52 Uhr, 24.11.2015

Hallo,

"

. .

. wenn doch der maximale Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmt werden soll."

Es soll NICHT der maximale Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmt werden, sondern die Ebene, die

g

enthält und den maximalen Abstand zu

P

hat!

Kann eine Ebene, die

g

enthält, weiter von

P

entfernt sein als

P_{g}

? Nein! Da in der Ebene

g

enthalten ist, ist auch

P_{g}

als Punkt auf

g

in der Ebene enthalten. Als Abstand der Ebene von einem Punkt

P

gilt der minimale Abstand aller Punkte aus der Ebene vom Punkt P. Damit ist der Abstand aller Ebenen durch

g

immer kleiner oder gleich dem Abstand des Punktes

P_{g}

vom Punkt P.

Wenn jetzt aber

P

orthogonal auf der Ebene im Punkt

P_{g}

steht, dann bildet jeder Punkt

Q

der Ebene, der von

P_{g}

verschieden ist, zusammen mit

P

und

P_{g}

ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei

P_{g}

. Die Strecken

\bar{P P_{g}}

und

\bar{Q P_{g}}

sind die Katheten, wobei

| \bar{P P_{g}} |

auch gleichzeitig der Abstand zwischen

P

und

P_{g}

ist. Die Strecke

\bar{P Q}

ist dann die Hypothenuse des Dreiecks und als solche die größte Seite im Dreieck. Mit anderen Worten: Es gilt

| \bar{P Q} | > | \bar{P P_{g}} |

. Und deshalb ist jeder Punkt der Ebene, der verschieden von

P_{g}

ist, weiter von

P

entfernt als

P_{g}

und die gefundene Ebene hat von

P

den selben Abstand wie

P_{g}

. Da, wie oben erwähnt keine Ebene durch

g

existiert, deren Abstand von

P

größer ist als der Abstand von

P_{g},

ist eine Ebene, die genauso weit entfernt ist von

P

wie

P_{g}

maximal weit entfernt. Und das ist genau die so gefundene Ebene.

rundblick aktiv_icon

14:51 Uhr, 24.11.2015

.
Gegeben ist der Punkt

P = (2,0,1)

und die Gerade g=(2,0,−1)+t⋅(0,1,1) im

R 3

.
Bestimmen Sie die Hesse-Normalform der Ebene

E

durch

g

mit maximalen Abstand zu P.

also machen wires vielleicht mal etwas kürzer so:

- g

ist die Drehachse um die du irgend eine Ebene, die durch

g

geht
drehen kannst, um so alle möglichen Ebenen durch

g

zu sehen
(stell dir zB ein Buch vor, dessen Blätter du um den Buchrücken

g

aufklappst..)

- eine dieser gedrehten Ebenen geht auch durch

P

(die hat den minimalsten Abstand..!)

- der vorkommende Punkt

P_{g}

(wie oben!) ist der Lotfusspunkt von

P

auf

g

den bekommst du am einfachsten als Durchstosspunkt von

g

durch die durch

P

gehende Lotebene

N

g \to

- Gleichung von

N : \to y + z - 1 = 0

- N

geschnitten mit

g \Rightarrow P_{g =} (2, 1, 0)

\to \vec{(P_{g}) P} = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

ist dann ein Lotvektor auf der gesuchten Ebene

E

(denke an das aufgeblätterte Buch ) und damit hast du auch den maximalen Abstand

d = \sqrt{2}

- HNF von

E

ist zB

\to \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot [- y + z + 1] = 0

ok?

marina96lrt aktiv_icon

22:31 Uhr, 24.11.2015

Vielen,vielen Dank für die Antwort. Ich habe es jetzt verstanden. :-)

marina96lrt aktiv_icon

22:31 Uhr, 24.11.2015

Vielen,vielen Dank für die Antwort. Ich habe es jetzt verstanden. :-)

1271117

1270703

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?