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Maximum-Likelihood-Schätzer einer Dichtefunktion

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Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Maximum-Likelihood, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Slexout aktiv_icon

14:50 Uhr, 19.01.2021

Hallo!

Ich hab ne Aufgabe an der ich ziemlich lange hänge und einfach nicht weiter komme.

Gegeben sei folgende Dichtefunktion:

P_{λ} (k) = \frac{λ^{k} \cdot e^{- λ}}{k!},

wobei

k

∈

{0, ..., N}

und λ

> 0

und λ ∈

R

ist.

Folgende Teilaufgaben sind zu lösen:

1. Leiten Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für

λ

her, wenn

N

stochastisch unabhängige Beobachtungen

k_{1}, ..., k_{N}

vorliegen. Stellen Sie sicher, dass die gefundene Extremstelle eine Maximalstelle ist.

2. Mit der angegebenen Dichtefunktion soll errechnet werden, wie viele Überflutungen auftreten. Die Anzahl der Überflutungen innerhalb der letzten Jahre ist wie folgt gegeben:

Überflutungen der letzten Jahre:

6, 1, 1, 6, 2, 4, 3, 2, 3, 3

. Berechnen Sie

λ

_ML anhand dieser Daten.

3. Leiten Sie den Mittelwert der Dichtefunktion

P_{λ} (k)

her. Mit wie vielen Überflutungen ist im Mittel auf Basis der Daten in Teilaufgabe 2. zu rechnen?
Hinweis: exp(x)

= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

.

Ich hänge zur Zeit an der 1 und 2. Normalerweise ist die 2 trivial, weil man nur die gegeben Werte in das herausgefundene

λ

einsetzen muss. Jedoch komme ich auf ein

λ,

wo es nicht wirklich was einzusetzen gibt - was höchstwahrscheinlich darauf zurückzuführen ist, dass ich bei der 1. einen Fehler gemacht habe.

Mein Vorgehen bei der 1 war es die Log-Likelihood zu verwenden um einen einfacheren Rechenweg zu erhalten.
Also

\prod_{k = 0}^{K} \frac{λ^{k} \cdot e^{- λ}}{k!} = \sum_{k = 0}^{K} ln (\frac{λ^{k} \cdot e^{- λ}}{k!})

Nach Vereinfachung erhalte ich

\frac{1}{2} ln (λ) \cdot K (K + 1) - K \cdot λ - \sum_{k = 0}^{K} ln (k!)

.

(Frage an der Stelle: Kann man die Fakultät noch vereinfachen?).

Für die erste Ableitung hierfür erhalte ich:

\frac{K (K + 1)}{2 λ} - K

.

Nullgesetzt und nach

λ

aufgelöst

λ = \frac{K + 1}{2}

.

Ich gleiche prinzipiell meine Aufgaben immer auf Wolfram Alpha ab, dort erhalte ich als erste Ableitung

\frac{(K + 1) (K - 2 λ)}{2 λ}

und für das

λ

nach der Nullsetzung

\frac{K}{2}

. Wenn's stimmt müsste ich irgendwo einen Fehler gemacht haben. Ich kann den Rechenweg von Wolfram leider überhaupt nicht nachvollziehen und weiter im Kontext, weiß ich nicht wie ich mit

λ = \frac{K}{2}

die zweite Teilaufgabe lösen kann.

Ich hoffe sehr, jemand kann mir helfen.

Viele Grüße
Slexout

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

15:59 Uhr, 19.01.2021

Nein, dein Likelihood-Ansatz ist von Grund auf falsch durchdacht: Die Stichprobe besteht aus

n

Werten

k_{1}, \dots, k_{n}

(in deinem konkreten Fall ist

n = 10

mit

k_{1} = 6, k_{2} = 1, k_{3} = 1, \dots, k_{10} = 3

), und die zu diesen Werten gehörenden Dichtefunktionswerte sind zu multiplizieren! Die Loglikelihoodfunktion ist daher

L L (λ) = \sum_{j = 1}^{n} \ln (\frac{λ^{k_{j}} \cdot e^{- λ}}{k_{j}!}) = - n λ + \ln (λ) \sum_{j = 1}^{n} k_{j} - \sum_{j = 1}^{n} \ln (k_{j}!)

abgeleitet nach

λ

verschwindet der ganze Fakultäts-Kladderadatsch:

\frac{d}{d λ} L L (λ) = - n + \frac{1}{λ} \sum_{j = 1}^{n} k_{j}

.

Man sieht hier übrigens auch gleich an der zweiten Ableitung

\frac{d^{2}}{d λ^{2}} L L (λ) = - \frac{1}{λ^{2}} \sum_{j = 1}^{n} k_{j} < 0

, das sollte bei der fälligen Charakterisierung "Maximum" für das lokale Extremum helfen.

Slexout aktiv_icon

17:02 Uhr, 19.01.2021

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen! Ich hab den Fehler gemacht zu versuchen die Summe

\sum_{k = 0}^{K} k

aufzulösen. So ergibt es endlich Sinn :-)

Dann ist nach Umformung

λ = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} k

und somit kann man die Werte einsetzen.

λ = \frac{1}{10} (6 + 1 + 1 + 6 + 2 + 4 + 3 + 2 + 3 + 3) = 3

.

Dann fehlt mir nur noch Teilaufgabe 3.

Den Mittelwert der Dichtefunktion berechnet man ja mit

μ = \int_{- \infty}^{\infty} k \cdot P_{λ} (k)

. Kann ich mein gefundenes

λ = 3

dort eintragen, so dass

μ = \int_{- \infty}^{\infty} k \cdot \frac{3^{k} \cdot e^{- 3}}{k!}

gilt?

e^{- 3}

könnte man ja direkt ausrechnen, jedoch macht es für mich den Eindruck das ich hier auf der falschen Fährte bin.

HAL9000

21:16 Uhr, 19.01.2021

Nun, "Integral" allenfalls im Lebesgue-Integral-Sinn und da bezüglich des Zählmaßes auf

ℕ

.

Hier bei dieser diskreten Verteilung (die übrigens eine Poisson-Verteilung ist) berechnet sich der Erwartungswert damit als Summe

\sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot P_{λ} (k)

.

Ich komme übrigens auf den ML-Schätzwert

\hat{λ} = 3.1

statt

3

.

P.S.: Warum du aber immer noch der hier unbrauchbaren Symbolik

\sum_{k = 1}^{K} k

anhängst, muss du selbst wissen.

Slexout aktiv_icon

18:30 Uhr, 22.01.2021

Das mit der unbrauchbaren Symbolik verstehe ich nicht :-D)

Jedenfalls, vielen herzlichen Dank für die große Hilfe. Dank Dir konnte ich die Aufgaben lösen.

Beste Grüße
Slexout

HAL9000

21:01 Uhr, 22.01.2021

> Das mit der unbrauchbaren Symbolik verstehe ich nicht

Ja wenn du weiter diesbezüglich "Blinder Mann" spielen willst, dann tu das. Ich hab jedenfalls deutlich drauf hingewiesen.

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