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Mean Squared Error minimieren

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Gütemaß, Mean Squaren Error, MSE

marc86 aktiv_icon

18:43 Uhr, 12.04.2012

Ich habe folgende Aufgabe erhalten: Bestimmen Sie a so, dass die mittlere quadratische Abweichung MSE des Schätzers $\hat{μ}$ minimal wird.

Gegeben ist folgendes:

$X \sim E x p (λ), d . h . μ = \frac{1}{λ} u n d σ^{2} = \frac{1}{λ^{2}} W i c h t i g : \hat{μ} = a * \bar{X}$ $\hat{μ}$ ist der Schätzer für das wahre $μ$

Mein Ansatz: MSE als Varianz+Bias, min MSE über a, nach a auflösen

erstes Problem: Varianz von $\hat{μ}$ berechnen. Ist meine Berechnung richtig?

$V a r (\hat{μ}) = V a r (a \bar{X}) = a^{2} * V a r (\bar{X}) = a^{2} * \frac{1}{λ^{2}}$

zweites Problem: MSE berchnen

$M S E (\hat{μ}) = V a r (\hat{μ}) + {[B i a s (\hat{μ})]}^{2} = V a r (\hat{μ}) + {[E (\hat{μ} - μ)]}^{2} = V a r (\hat{μ}) + {[E (\hat{μ}) - E (μ)]}^{2} = V a r (\hat{μ}) + {E (\hat{μ})}^{2} - 2 * E (\hat{μ}) * E (μ) + {E (μ)}^{2} = V a r (\hat{μ}) + V a r (\hat{μ}) - 2 * E (\hat{μ}) * μ + μ^{2} = a^{2} * \frac{1}{λ^{2}} + V a r (\hat{μ}) - 2 * E (\hat{μ}) * μ + μ^{2} =$

Danach komme ich halt nicht mehr richtig weiter. würde es gerne weiter vereinfachen, um dann über eine Ableitung das optimale a herauszufinden.

Wer kann mir bei den weiteren Schritten helfen? Ich bin mir auch überhaupt nicht sicher, ob meine Umformungen bis dahin korrekt sind....

Vielen, vielen Dank schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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