Mehrdimensionales Lebesgue-Integral berechnen

Hallo,

ich bin mir etwas unsicher bei der Berechnung von mehrdimensionalen Lebesgue-Integralen. Als Beispiel nehme ich mal sofort etwas „Komplizierteres“:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\{\begin{array}{c}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ü<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}[1,2\left]\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right[0,2]\\ 0\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

Ich möchte

${\displaystyle {\int }_0^2{\int }_1^2\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}){\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right){\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

berechnen. (Ich habe es bereits mit Fubini auf eindimensionale Integrale zurückgeführt)

So, und jetzt mein Problem: Wie argumentiere ich jetzt, dass ich Lebesgue durch Riemann ersetzen kann?

Ich würde jetzt sagen, dass die Funktion ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ als Summe stetiger Funktionen stetig ist und damit Riemann-integrierbar. Da ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ stetig ist, ist ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ Lebesgue-messbar. Da 0${\displaystyle \le }$${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$${\displaystyle \le }$1, ist ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ beschränkt. Es folgt, dass ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ Lebesgue-integrierbar ist und dass die Integrale übereinstimmen. Also:

${\displaystyle {\int }_0^2\left({\int }_1^2\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\right){\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

= ${\displaystyle {\int }_0^2{[-\frac{1}{\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right]}_1^2{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

=${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_0^2[-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right]{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Mit der selben Argumentation wie eben, ersetze ich Lebesgue durch Riemann:

=${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\int }_0^2[-\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right]\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

=${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{[\frac{1}{2\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(2\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right]}_0^2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

=0

Wäre das so richtig?

Und was ist mit negativen Funktionswerten, hätte ich die beachten müssen oder ist das hier egal, da ich nur an der "orientierten Flächte" interessiert bin?

Das für's Erste, ich hoffe mir kann jemand helfen :)

Viele Grüße

KoAla

Stimmt, das Argument mit den kompakten Intervallen sollte ich auch benutzen dürfen. Vielen Dank! :)