Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Mehrere Eigenvektoren für einen Eigenwert

Mehrere Eigenvektoren für einen Eigenwert

Universität / Fachhochschule

Polynome

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung, polynom

marco- aktiv_icon

21:24 Uhr, 14.01.2017

Guten Abend,
ich möchte die Eigenvektoren der folgenden Matrix ausrechnen:

A = (\begin{matrix} 4 & - 5 & 3 \\ 3 & - 4 & 3 \\ 3 & - 5 & 4 \end{matrix})

Mein Rechenweg:

X_{A} = | A - λ E | = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 5 λ + 2

[

mit der Regel

v

. Sarrus]

1. NS raten:

λ_{1} = 1

Polynomdivision mit

(λ - 1) \to - λ^{2} + 3 λ - 2

Nullstellen davon ermitteln:

λ_{2} = 1; λ_{3} = 2

λ_{1} = λ_{2} = 1 :

(A - λ_{1} E) \vec{x} = \vec{0}

(\begin{matrix} 3 & - 5 & 3 & | & 0 \\ 3 & - 5 & 3 & | & 0 \\ 3 & - 5 & 3 & | & 0 \end{matrix})

[I

von II und III abziehen

]

(\begin{matrix} 3 & - 5 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})

An der Stelle komme ich nicht richtig weiter:
Also ich würde hier jetzt 2 Parameter frei wählen:

x_{2} = x_{3} = t

3 x_{1} - 5 x_{2} + 3 x_{3} = 0

3 x_{1} - 5 t + 3 t = 0

3 x_{1} - 2 t = 0

x_{1} = \frac{2}{3} t

und damit:

v_{1} = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

für

λ_{1}

Allerdings zeigt Wolfram Alpha als Lösung:

(\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}); (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

für

λ_{1}

(und

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

für

λ_{2})

www.wolframalpha.com/input/?i=%7B(4,+-5,+3),(3,+-4,+3),(3,+-5,+4)%7D
Insbesondere verstehe ich bei der Lösung den Schritt mit

(\begin{matrix} v_{2} \\ v_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

nicht:

[

siehe angehängtes Bild]

Kann mir jemand erklären wie ich diese Matrix mit 2 Nullzeilen löse? Besonders auch wie ich auf mehrere Eigenvektoren für einen einzelnen Eigenwert komme? Und wieviele Eigenwerte hat die Matrix? Bei

W . A

. sieht es so aus als ob doppelte Eigenwerte, anders als bei Nullstellen einer Funktion, ignoriert werden.
Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

21:31 Uhr, 14.01.2017

Eigenvektoren sind nie eindeutig.
In Deinem Fall hast Du für

λ_{1}

einen zweidimensionalen Eigenvektorraum. Da gibt's unendlich viele Möglichkeiten, eine Basis festzulegen. Denn in jeden Raum gibt's unendlich viele verschiedene Basen.
Wolfram macht es auf eine Weise, Du darfst es auch ganz anders machen.

DrBoogie aktiv_icon

21:33 Uhr, 14.01.2017

"Also ich würde hier jetzt 2 Parameter frei wählen"

Aber das machst Du falsch. Frei wählen würde heißen

x_{2} = t

x_{3} = s

.
Wenn Du

x_{2} = x_{3}

schreibst, ist es schon nicht mehr frei. Denn sie müssen nicht gleich sein. Du brauchst hier zwei Parameter, nicht einen.

marco- aktiv_icon

21:47 Uhr, 14.01.2017

Also dann:

(\begin{matrix} 3 & - 5 & 3 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})

x_{2} = a

x_{3} = b

3 x_{1} - 5 x_{2} + 3 x_{3} = 0

3 x_{1} = 5 a - 3 b

x_{1} = \frac{5}{3} - b

\vec{x} = (\begin{matrix} \frac{5}{3} - b \\ a \\ b \end{matrix})

Und wenn ich einen Eigenvektor angeben muss kann ich einfach 2 beliebige

a, b

aus

ℝ

auswählen?
Und ich nehme an dass die Dimension des Eigenraumes von

λ_{1}

dann 2 ist (wegen der 2 Paramter)?

DrBoogie aktiv_icon

22:33 Uhr, 14.01.2017

"Und wenn ich einen Eigenvektor angeben muss kann ich einfach 2 beliebige a,b aus ℝ auswählen?"

Ja.

"Und ich nehme an dass die Dimension des Eigenraumes von λ1 dann 2 ist (wegen der 2 Paramter)?"

Ja.

marco- aktiv_icon

01:20 Uhr, 15.01.2017

Eine Frage hätte ich noch:
Entspricht