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Menge aller Abbildungen, Induktion

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Abbildung, Induktion, Kardinalität

SoNyu

20:56 Uhr, 13.11.2013

Hi, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Seien

A, B

endliche Mengen mit

| A | = r

und

| B | = s

für

r, s \in N - {0}

. Sei weiter

F := {f : A \to B | f

Abbildung

}

die Menge aller Abbildungen imt Definitionsbereich A und Wertebereich B.
Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach

r,

dass die Kardinalität von

F

gleich

s^{r}

ist.

Die Aufgabe an sich ist mir klar, leider weiß ich nicht so recht wie der Induktionsschritt von statten geht.

Der Induktionsanfang ist klar.

r = 1

A = {a_{1}}

B = {b_{1}, ..., b_{s}}

Und es gibt genau

s

verschiedene Abbildungen

f (a_{1}) = b_{1}

f (a_{1}) = b_{2}

usw.

f (a_{1}) = b_{s}

I. S.

r \to r + 1

s^{r + 1} = s^{r} \cdot s = F \cdot s

Ich weiß nicht so recht wie ich hier vorgehen muss. Was muss in dem Induktionsschritt mit

F

passieren?
Oder müsste ich mir das ganze erstmal kombinatorisch überlegen?

Vielen Dank im voraus.

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:59 Uhr, 14.11.2013

Induktionsvoraussetzung sagt für ein

r \in ℕ \ {0}

gibt es

s^{r}

mögliche Abbildungen. Wenn du nun ein

A

mit

| A | = r + 1

betrachtest dann kannst du dir zuerst ein Element wegdenken und kommst dann auf

s^{r}

mögliche Abbildungen nach IV. In jeder dieser Abbildungen kannst du nun das weggedachte Element noch auf jedes Element der Wertemenge (davon gibt es ja

s

Stück) schicken, also kriegst du insgesamt

s \cdot s^{r} = s^{r + 1}

mögliche Abbildungen.

SoNyu

12:01 Uhr, 14.11.2013

Ja, das habe ich ja eigentlich auch so gemacht, aber ist es dadurch wirklich schon bewiesen? Das kommt mir irgendwie viel zu einfach vor...

Also so wie ich es oben aufgeschrieben habe.

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12:03 Uhr, 14.11.2013

Achso, aber du solltest das ganze schon mit Text belegen, so wie ich es getan habe, dann dürfte es ausreichend sein.

SoNyu

12:04 Uhr, 14.11.2013

Okay, vielen Dank.

Ja, ich schreibe generell auf meinem Papier alles etwas "ausgeschmückter" aus, als ich es dann hier im Forum poste.

Danke.

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12:05 Uhr, 14.11.2013

Keine Ursache.

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