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Menge aller Orthogonalen Gruppen
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Gruppe, Matrizenrechnung, orthogonalität
 
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Guten Tag, meine Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Menge aller orthogonalen Gruppen On(R) eine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation darstellt. In anderen Worten muss sie die drei Axiome erfüllen: Assoziativität (Klammern setzen) als Beispiel: Es existiert ein neutrales Element ∈ mit Zu jedem Element existiert ein Inverses ∈ mit Kann ich mit den Elementen von On(R) arbeiten indem ich mir beispielsweise für das erste Axiom drei Elemente von On(R) nehme und es damit zeige? Wie genau würde es dann aussehen. Dankeschön Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, dass die Matrizenmultiplikation generell assoziativ ist, wisst ihr doch bereits. Das muss man also nicht nachweisen. Dass die Einheitsmatrix orthogonal ist, dürfte ja wohl recht trivial sein. Interessant ist also nur, ob das Inverse einer orthogonalen Matrix wieder orthogonal ist. Und was du in deiner Liste ganz vergessen hast, ist die Abgeschlossenheit von bzgl. der Multiplikation, d.h. du musst auch zeigen, das das Produkt zweier Matrizen in wieder in liegt. Gruß ermanus |
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Kann dir nicht ganz folgen. Was meinst du die Matrizenmultiplikation ist generell assoziativ. Und in welchem Schritt muss ich zeigen, dass das Inverse auch wieder orthogonal ist. Ich muss doch nur zeigen dass eine Matrix in On(R) multipliziert mit ihrem Inversen die Einheitsmatrix bildet. Kannst du mir das sonst einmal vorrechnen |
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Wenn die Multiplikation von Matrizen für alle (!) Matrizen assoziativ ist, egal ob sie orthogonal sind oder nicht, d.h. wenn die Matrizenmultiplikation generell (!) assoziativ ist, dann gilt dies doch auch speziell für die orthogonalen Matrizen. Dass eine orthogonale Matrix multipliziert mit ihrer Inversen die Einheitsmatrix ergibt, ist doch trivial! Jede invertierbare Matrix ergibt bei Multiplikation mit ihrem Inversen die Einheitsmatrix, weil das ja gerade die Eigenschaft einer Inversen ist per Definition. Wichtig ist aber doch, dass dies innerhalb von möglich ist, dass also das Inverse einer orthogonalen Matrix wieder eine orthogonale Matrix ist: . |
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hmm okay danke |
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