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Menge aller Restklassen mit a als Repräsentant

Universität / Fachhochschule

Tags: modulo, Restklasse

Steve2309 aktiv_icon

08:24 Uhr, 01.12.2020

Die Aufgabe:

In dieser Aufgabe betrachten wir die Menge Z/mZ aller Restklassen

[a] m

{

b∈Z | a≡b (modm)}

ganzer Zahlen modulo einer festen Zahl

m

∈ N. Die Zahl a ist dann ein sogenannter Repräsentant von

[a] m

. Wir definieren weiter eine Addition und Multiplikation auf Z/mZ durch

[a] m + [b] m := [a + b] m, [a] m

[

b]m

:= [a

·b

]

a)

Zeigen Sie

[a] m

=a+mZ:=

{

a+mk

| k

∈Z

}

.

Folgern Sie, dass

Z/Zm

= {[0] m,

. . .

, [m

−

1] m}

.

Dies ist die kanonische Wahl der Restklassen in Z/mZ.

b)

Zeigen Sie, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind,

d . h

. sie ha ̈ngen nicht von der Wahl eines Repräsentanten ab.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:35 Uhr, 01.12.2020

Sorry, aber was genau ist dein Problem?
Die Konstruktion von

ℤ_{m}

ist doch überall beschrieben, sogar in Wikipedia:
de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring
Oder ausfürhlicher hier
www.math.uni-bielefeld.de~sek/number/leit03.pdf
oder einfacher hier:
www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/restklassen

Usw.

Steve2309 aktiv_icon

08:39 Uhr, 01.12.2020

Ich habe ein Problem damit, das richtig und fachgerecht zu beweisen

Lg

DrBoogie aktiv_icon

08:48 Uhr, 01.12.2020

Warum liest du nicht durch, wo es schon bewiesen ist, und versuchst nich es nachzumachen?
Du kannst das Ergebnis hier posten und wir prüfen.
Wenn wir für dich sogar solche kleine Beweise machen, lernst du kaum.

Steve2309 aktiv_icon

08:58 Uhr, 01.12.2020

Ok ich versuche mich mal daran und sende meinen Vorschlag heute Abend mal rein

Steve2309 aktiv_icon

11:18 Uhr, 01.12.2020

Also ich hab jetzt 2 Stunden versucht den ersten Teil zu lösen und ich komme einfach nicht drauf.

Wir müssen ja

[a] m

=a+mZ:=

{

a+mk

| k

∈Z

}

. zeigen. a ist dabei eine beliebige ganze Zahl und

m

eine von 0 verschiedene Ganze Zahl. da

k

auch element von den ganzen Zahlen ist, muss das ja stimmen. Ich komme einfach nicht darauf, wie ich das zeigen soll...Muss man vielleicht irgendwas mit

[a] m + [b] m := [a + b] m

machen?

DrBoogie aktiv_icon

11:31 Uhr, 01.12.2020

Per Definition besteht

[a]_{m}

aus allen

b

, so dass

a = b

mod

m

. Was kann man jetzt über

b

sagen? Wie ist dieses "mod m" überhaupt definiert?

Steve2309 aktiv_icon

12:35 Uhr, 01.12.2020

Man könnte doch sagen, dass a und

b

bei einer Division den selben Rest haben, oder?

Steve2309 aktiv_icon

12:37 Uhr, 01.12.2020

Also laut Def. müssen sich a und

b

um ein ganzzahliges Vielfaches von

m

unterscheiden

DrBoogie aktiv_icon

12:39 Uhr, 01.12.2020

Kann man. Aber es gibt auch eine Definition, die mit weniger Wörtern auskommt.
Es gilt

a = b

mod

n

<=>

\exists k

mit

a - b = n k

.
Das ist übrigens auch hier beschrieben:
de.wikipedia.org/wiki/Division_mit_Rest

Steve2309 aktiv_icon

12:40 Uhr, 01.12.2020

Achso, ich glaube ich hab eine Idee. Moment.

Steve2309 aktiv_icon

13:02 Uhr, 01.12.2020

Man hat die Behauptung, dass

a = b

modm ist. Lauf Def. ist das gleich nk=a-b. Also lässt sich schreiben, dass

a - b

geteilt durch

m = k

ist. Das ist dann gleich

a - b = m \cdot k

und das wiederum gleich

b = a + m \cdot n

. Nun ist

n = - k

wodurch

a + m \cdot k

gilt.

Stimmt das so?

DrBoogie aktiv_icon

13:07 Uhr, 01.12.2020

Es ist entweder

m

oder

n

, aber nicht gleich beide.
Das Ganze ist wirklich sehr einfach.

Steve2309 aktiv_icon

13:11 Uhr, 01.12.2020

Also schreibt man einfach:

a - b = m \cdot k \Rightarrow b = a + m \cdot k

Und da

a = b

gibt ist die Aufgabe gelöst ??

DrBoogie aktiv_icon

13:11 Uhr, 01.12.2020

Ist ist so:

x \in [a]_{m}

x = a

mod

m

x - a = m k

mit einem ganzen

k

x = a + m k \in {a + m k : k \in ℤ}

Umgekehrt:

x \in {a + m k : k \in ℤ}

\exists k

mit

x = a + m k

x - a = m k

x = a

mod

m

x \in [a]_{m}

Also,

x \in [a]_{m} = {a + m k : k \in ℤ}

Und das ist noch sehr ausführlich geschrieben. Eigentlich ist die Aussage ziemlich inhaltsleer.

[a]_{m}

ist nur die andere Art

{a + m k : k \in ℤ}

zu schreiben.

Steve2309 aktiv_icon

13:13 Uhr, 01.12.2020

Verstehe, danke.

Steve2309 aktiv_icon

14:13 Uhr, 01.12.2020

Und wie würde man beim zweiten Teil der

a)

vorgehen?

DrBoogie aktiv_icon

14:39 Uhr, 01.12.2020

Jede ganze Zahl kann durch

m

mit Rest geteilt und dadurch in der Form

a + m k

mit

a \in {0, 1, . . ., m - 1}

geschrieben werden. Also jede Zahl liegt in einem von

[a]_{m}

mit

a \in {0, 1, . . ., m - 1}

.
Andererseits, wenn

a, b \in {0, 1, . . ., m - 1}

mit

a \neq b

, dan

[a]_{m} \cap [b]_{m} = \emptyset

, denn alle aus

[a]_{m}

haben den Rest

a

und alle aus

[b]_{m}

haben den Rest

b

bei der Division durch

m

. Damit ist

ℤ = \cup_{a = 0}^{m - 1} [a]_{m}

disjunkt.

Steve2309 aktiv_icon

14:42 Uhr, 01.12.2020

Bei der

b)

bin ich so vorgegangen:

Sei

x

element

{a} m

und

y

element

{b} m

. Daraus folgt nun

x = a + \cap

und y=b+kn.

x + y

wäre dann

(a + b) + (n + k) n

. Somit gilt

x + y

element

{a + b} m

für alle

x, y

mit

x

element

{a} m

und

y

element

{b} m

.

Sei nun

x

erneut ein Repräsentant von

{a} m

und

y

element

{b} m

. Daraus wäre

x = a + \cap

und y=b+km. Es folgt:

x*y=a*b+a*k*n+n*b*n+n*k*nhoch2 = (a*b)+(ak+nb+nkn)n und das ist element von

{a \cdot b} m

Wäre das korrekt?

Steve2309 aktiv_icon

14:50 Uhr, 01.12.2020

Ich verstehe nicht genau, wie das die Aussage konkret beweisen soll?

DrBoogie aktiv_icon

14:57 Uhr, 01.12.2020

Du schreibst wieder mal

m

, mal

n

. :-O
Und was soll hier

\cap

bedeuten?

Steve2309 aktiv_icon

15:01 Uhr, 01.12.2020

Also die "Schnittmenge" sollen eigentlich

n \cdot n

heißen...

DrBoogie aktiv_icon

18:39 Uhr, 01.12.2020

Ich zeige, wie man Wohldefiniertheit der Addition zeigt.
Die Addition ist durch

[a]_{m} + [b]_{m} = [a + b]_{m}

definiert, und um zu zeigen, dass die Definintion wohl ist, müssen wir zeigen, dass das Ergebnis nicht von der Wahl von

a

und

b

abhängt.
Also, sei

[a]_{m} = [a_{1}]_{m}

und

[b]_{m} = [b_{1}]_{m}

. Damit gilt

a = a_{1}

mod

m

und

b = b_{1}

mod

m

a = a_{1} + k m

und

b = b_{1} + l m

mit passenden

l, m

a + b = a_{1} + b_{1} + (k + l) m

a + b = a_{1} + b_{1}

mod

m

[a + b]_{m} = [a_{1} + b_{1}]_{m}

. Damit ist alles gezeigt.

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