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Menge in der komplexen Zahlenebene skizzieren

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

anonymous

13:19 Uhr, 14.07.2019

Skizzieren Sie die Menge

{w \in ℂ | w^{3} = \frac{i - 1}{\sqrt{2}}}

in der komplexen Zahlenebene

Mit den Mengen skizzieren tue ich mich noch schwer..

In Koordinatenform umgestellt habe ich für

w^{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i

raus

Aber wie kann ich die Gleichung nun deuten?
Was genau wird hier gesucht?

a+bi kann ich problemlos zeichnen, aber war's das? Sonst stünde da ja kein

w^{3}

sondern ein

z . .

.
Nun haben wir ja aber "3 Lösungen"?

Rechenweg

>

Lösung

(Das selbe für

w^{4} = 3 i - \sqrt{3}),

aber da würde ich dann anschließend mit Hilfe aus der ersten Aufgabe selber draufkommen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

13:34 Uhr, 14.07.2019

Hallo
hallo gesucht sind die 3 Werte von

w,

also der dritten Wurzel von deiner Zahl.
da

| w^{3} | = 1

liegt

w^{3}

und damit auch

w

auf dem Einheitskreis,

w^{3}

bei -45° bzw \-pi/4 zur

x -

Achse, oder bei 360-45° wenn du einen positiven Winkel willst.

w

liegt dann bei

\frac{1}{3}

des Winkels da man aber immer

2 π

noch addieren kann bekommt man 3 Winkel
anderer Weg: schreibe

w^{3} = r \cdot e^{i \cdot (φ + k \cdot 2 π)}

ud ziehe die Wurzel nach den Potenzgesetzen , dasselbe mach für dein

w^{4},

da ist aber

r \neq 1

ob die Variable

w

oder

z

heisst ist egal!
Gruß ledum

anonymous

14:01 Uhr, 14.07.2019

Okay, also hast du praktisch die Polarform erstmal aufgestellt.

Dann hätten wir ja

| w | \cdot

cis

(φ)

r = | w | = 1

Bedeutet, dass unsere 3 Werte schon mal alle die Länge 1 haben (und somit auf dem Einheitskreis liegen)

Als nächsten Betrachen wir den Winkel (das Argument)

das ist ja durch

{tan}^{- 1} (\frac{b}{a})

gegeben

\to

arg(w)

= - \frac{1}{4} π

w^{3}

in der anderen Schreibweise wäre also

w^{3} = r \cdot e^{i \cdot (φ + 2 \cdot π \cdot k)}

Kann ich dann einfach meine Werte

(r

und

φ)

hier einsetzen und für

k = 1,2,3

?

Einen TR werden wir nicht zur Hilfe haben, weshalb ich deine erste Methode anschaulicher finde.

Wie du auf den Einheitskreis so wie

- 45

Grad kommst verstehe ich.
wie kriege ich da aber die 2 anderen Winkel raus? Bzw Punkte

LG

ledum aktiv_icon

14:52 Uhr, 14.07.2019

Hallo
man sollte wissen

sin (\frac{π}{4}) = cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}

weil man das man gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck sieht.
und damit

- \frac{1}{2} \sqrt{2} = - sin (\frac{π}{4}) = sin (- \frac{π}{4})

deshalb seh ich die Winkel direkt!
statt

k = 1,2,3

auch

k = 0,1,2

und dann eben hoch

\frac{1}{3}, d . h,

die Winkel dritteln.
was ihr mit cis(\phi) bezeichnet kenn ich nicht, es bedeutet wohl den Winkel zur x-Achse?
um die Winkel durch 3 zu teilen, braucht man wohl keinen TR.
Gruß ledum

Roman-22

15:26 Uhr, 14.07.2019

>

was ihr mit cis(\phi) bezeichnet kenn ich nicht
Das ist eine recht eigenwillige und eigenartige Abkürzung:

r \cdot c i s (φ) = r \cdot (cos φ + i \cdot sin φ)

.

Ist mir bisher nur manchmal aus dem Schulbereich kommend untergekommen.

Warum man nicht gleich die verständlichere Versor-Notation

z = r ∠ φ

verwendet ist mir nicht einsichtig.

anonymous

16:28 Uhr, 14.07.2019

Habe mal ein Bild angefügt,
ich verstehe noch nicht so ganz, wie man ohne TR auf die "Winkel der anderen 2 w's" gelangt..

Bei

w^{4},

wie fungiert das dort dann?

Muss ich da auch erst wieder den Betrag und den Winkel ausrechnen? Bzw wie rechne ich die anderen Winkel aus?

Mit der e-Funktion habe ich es verstanden, aber auf dem anderen Weg noch nicht.

LG

ledum aktiv_icon

17:12 Uhr, 14.07.2019

Hallo
ich hab die Zeichnung gemacht, beim multiplizieren, werden die Winkel von

z

addiert,

d, h,

beim potenzieren mit

n

ver

n

facht, beim Wurzelziehen muss man sie deshalb durch 3 Teilen, ich hab die

- 45

durch 3 geteilt, also -15°, dann

\frac{360}{3}

dazu ergibt den nächsten

\frac{720}{3}

dazu den dritten.
Wenn der Betrag nicht 1 ist liegen alle

n

Wurzeln auf dem Kreis mit Radius

\sqrt[n]{| w |}

sonst entsprechend die Winkel durch

n,

und jeweils

k \cdot \frac{360}{n}

dazu.
kann man alles mit Geodreieck ohne TR.
Gruß ledum

anonymous

17:38 Uhr, 14.07.2019

Hey, danke erstmal für deine Zeichnung:-)

Wenn ich das richtig verstanden habe:

Zu erst rechnet man den Winkel aus

(- 45)

Dann teilt man ihn durch

3,

weil wir ja 3 Lösungen suchen

(^3)

Somit bekommen wir

- 15

Grad.

Nun rechnen wir einmal auf die

- 15

Grad

\frac{360}{3}

hinzu und einmal auf die

- 15

Grad

\frac{720}{3}

hinzu.

Somit erhalten wir die nächsten 2 Winkel, wo sich die Werte befinden.

Das wäre dann

120 - 15 = 105

Grad
und

240 - 15 = 225

Grad

Also liegt ein Wert bei

105

Grad, einer bei

225

Grad und einer bei

- 45

Grad - jeweils alle mit der Länge 1?

Ich verstehe in deiner Skizze nämlich nicht, wieso du plötzlich 4 hast?

Der rote - der mit

- 45

Grad - ist das kein Wert? Ist es stattdessen die

- 15

anonymous

18:16 Uhr, 14.07.2019

Mal noch eine andere Frage:

Ich soll die folgende Menge skizzieren

{z \in ℂ : ({| z |}^{2} - 4) \cdot z = 0}

Nun ja, wann ist diese Gleichung

= 0

?

Entweder, wenn:

z_{1} = 0

z_{2} = 2

z_{3} = - 2

wie zeichne ich nun diese

z' s

ledum aktiv_icon

18:24 Uhr, 14.07.2019

Hallo
am roten Pfeil steht dich dick

w^{3}

? die schwarzen sind die Lösung.
ledum

anonymous

18:25 Uhr, 14.07.2019

Ahh, sorry, habe es als

w_{3}

gelesen, mein Fehler.

Okay, dann habe ich das verstanden, danke!

ledum aktiv_icon

18:26 Uhr, 14.07.2019

Hallo
nein

| z | = 2

gibt es doch viele Punkte, denk mal nach welche? sicher sind darunter auch

z = 2

und

z = . 2

aber noch viele mehr!
Gruß ledum

anonymous

18:42 Uhr, 14.07.2019

Naja, das wären doch unendlich oder...?

Wir suchen ja somit ne komplexe Zahl mit der Länge 2.
Aber das kann ja jede komplexe Zahl sein...?

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = | z |

\to

Alles, was 4 unter der Wurzel ergibt, gibt

| z | = 2

Wäre das dann ein Kreis mit Radius 2 um

0,0

?

Dann hätte ich das verstanden..

Dann müsste ja nur der Rand betrachtet werden, oder?

ledum aktiv_icon

21:46 Uhr, 14.07.2019

Hallo
ja die Kreislinie, kurz der Kreis,

| z | \leq 2

wäre der Vollkreis
aber bitte jetzt neue Fragen in neuem thread!
Gruß ledum

HAL9000

14:12 Uhr, 15.07.2019

Eine etwas späte Anmerkung zur ersten Aufgabe:

Ich bin ein wenig verwundert, hier ständig von -45° zu lesen, denn im Eröffnungsposting war anfangs die Rede von

w^{3} = \frac{i - 1}{\sqrt{2}}

, und das ist ja wohl stattdessen

w^{3} = \exp (i \cdot \frac{3}{4} π) = \exp (i \cdot 13 5^{\circ})

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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