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Cavalieri Schnitt von Kugel und Kegel

Universität / Fachhochschule

Tags: Menge Integration

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20:45 Uhr, 11.11.2014

Hallo,
ich will folgende Menge skizzieren:

Ω =

{

(x, y, z) \in R^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}; x^{2} + y^{2} \leq z^{2}; z \geq

}
Wie kann ich mir die Menge vorstellen? Gibts da einen Namen für? Oder kann mir vielleicht jemand ein Bild dazu malen?

MFG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

abakus

20:54 Uhr, 11.11.2014

Hallo,

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

beschreibt eine Kugel mit dem Mittelpunkt im Ursprung und den Radius R.
Im Inneren dieser Kugel liegt nun ein Objekt, dessen Begrenzung durch

x^{2} + y^{2} . . .

(das deutet auf etwas kreisförmiges hin)

. . . = z^{2}

gegeben ist.
Hilft das weiter?

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21:35 Uhr, 11.11.2014

ich habe mir dazu überlegt, dass im inneren der Kugel ein Kegel ist, der auf der Spitze steht und sobald der Kegel auf die Kugel trifft sind Kegel und Kugel identisch! Ist das richtig? Hat das Teil irgendeinen besonderen Namen?

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11:17 Uhr, 12.11.2014

Wie kann ich nun mit dem Prinzip von Cavalieri das Volumen der Menge berechnen?

Ich habe es schon selbst versucht und als Ergebnis folendes erhalten:

R^{3} * π * (\frac{2 - \sqrt{2}}{3})

In der Aufgabe steht aber, dass man mit den Kugelkoordinaten rechnen soll und das habe ich nicht gemacht.

ledum aktiv_icon

12:47 Uhr, 12.11.2014

Hallo
kannst du sagen wie du auf dein Ergebnis kommst? Wenn du fertige Formeln aus Formelsammlungen für Kugelabschnitte und Kegel benutzt hast musst du die beweisen. und das wahrscheinlich wieder mit Cavalieri
Gruß ledum

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13:12 Uhr, 12.11.2014

Ich habe keine Formel aus der Formelsammlung benutzt! Ich habe geguckt, wann der Kegel auf die Kugel trifft und dann mit Cavalieri zuerst das Integral von 0 bis R/

s q r t 2

betrachte weil bis dahin x und y durch z beschränkt sind und ich somit nur den Inhalt des Kegels betrachten muss und sobald ich auf die Kugel treffe also von R

/ s q r t 2

bis R muss ich über (R^2-z^2)*pi integrieren um das Volumen der Kugelkappe zu erhalten!
Ist mein Ergebnis richtig? Wenn mein Ergebnis richtig ist, wo muss ich dann Kugelkoordinaten benutzen? Es klappt ja auch so!

ledum aktiv_icon

15:38 Uhr, 12.11.2014

Hallo
Deine Methode zumindest ist richtig, wie begründest du dein

R^{2} - z^{2}

? ich habe ein anderes Ergebnis, kann mich aber auch verrechnet haben, Was sind deine 2 Teilergebnisse?
vielleicht sollte man Kugel koordinaten benutzen a um sie zu üben,

b)

wenn man nicht mit der bekannten Kreisfläche rechnet, sondern die auch per Integral will?
Gruß ledum

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23:58 Uhr, 12.11.2014

Ich habe alles sofort zusammengerechnet ohne Zwischenschritt.
Ich würde nur noch gerne eine Bestätigung haben, ob mein Ergebnis richtig ist. Oder sonst bitte ein korrigiertes Ergebnis.
MfG

ledum aktiv_icon

16:06 Uhr, 14.11.2014

Hallo
ich habe dasselbe Ergebnis
Gruss ledum

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