Mengen Vereinigung und Durchschnitt

Hallo an Alle!

Habe ein allgemeine Wissenslücke, was folgende Formulierung angeht:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \cup \{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\} \\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.} \\ \cap \{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\} \\ } \end{gathered}$$

(Zum ersten) Was bewirkt das Vereinigungszeichen zusätzlich, wenn innen der Schnitt zweier Mengen gemeint ist? Wie kann man das vielleicht in der Form ={x I ...} schreiben?

Falls der Zusammenhang fehlt, hier die Aufgabe, in der das vorkommt:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}: \\ (\cup \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*)\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\cup \{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \text{\hspace{0.17em}M*}\} \\ \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.} \\ (\cap \text{\hspace{0.17em}M*\hspace{0.17em}})\cup \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\cap \{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\} \\ } \end{gathered}$$

WOBEI M* ein geeschwungenes M ist.

Vielen Dank

Hallo,

ich bin leider erst heute auf deine Frage gestoßen.

Ich denke, dass dir das Summenzeichen bekannt ist, z.B.

${\displaystyle \sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3+\mathrm{...}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Normalerweise stehen die Summationsgrenzen [i=1] und [n] unter bzw. über dem Sigma, der Formeleditor hier setzt diese Summationsgrenzen aber hinter das Sigma, immerhin wenigstens tief- bzw. hochgestellt .

In Worten bedeutet also das Summenzeichen:

Es ist die Summe zu bilden "über alle Summanden a_i , beginnend mit a_1 bis zum Summanden a_n.

Analog ist das "große" Vereinigungsmengensymbol zu verstehen. 

Beispiel:

${\displaystyle {{\cup }_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cup {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\cup {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\cup \mathrm{...}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Auch bei diesem "großen" Vereinigungsmengensymbol  werden normalerweise die Grenzen unter bzw. über das Vereinigungsmengensymbol geschrieben.

In Worten: Es ist die Vereinigungsmenge zu bilden über alle Mengen 

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3,\mathrm{...}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$   also über alle (irgendwie näher definierten) Mengen, beginnend mit der Menge ${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$  bis zur Menge ${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ .

Bei deiner Aufgabe stellt das M* (dieses "geschwungene M") eine Menge dar, deren Elemente eine gewisse (endliche oder möglicherweise sogar unendliche) Anzahl von Mengen M sind. M* ist also eine Menge von Mengen M, die man sich zur leichteren Unterscheidung am besten zunächst mit Indizes (tiefgestellten Nummern) versehen vorstellt.

${\displaystyle (\cup \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*)\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=({{\cup }_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=({\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cup {\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\cup {\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\cup \mathrm{...}{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=}$

${\displaystyle =({\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cup {(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cup {(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cup \mathrm{...}{\cup (\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Der letzte Term bedeutet in Worten: Es ist die Vereinigungsmenge zu bilden über alle Schnittmengen, die aus einer Menge M_i und der Menge N gebildet werden können.

Wenn man jetzt nicht genau weiß wie groß das n ist, also wieviele Menge M_i an der "Operation" beteiligt sind oder wenn man einfach ein solches "kleines n" in der Darstellung umgehen/vermeiden will, so kann man etwas allgemeiner formulieren:

Es ist die Vereinigungsmenge zu bilden über alle (möglichen) Schnittmengen, die aus einem Element von M* (also einer der Mengen M) und der Menge N gebildet werden können, kürzer:.

Es ist die Vereinigungsmenge zu bilden über alle (möglichen) Schnittmengen der Form ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit der Eigenschaft, dass (bzw. kurz: wobei) M ein Element von M* ist.

Das entspricht genau der von dir angegebenen Symbolik:

${\displaystyle (\cup \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*)\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\cup \{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\}}$

Statt des Zusatz   ${\displaystyle \text{"\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*"}$

findet man auch die Darstellung

 ${\displaystyle (\cup \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*)\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\cup }_{\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*}(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

wobei diese Bedingung ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*}$ meist wieder unter das  "große" Vereinigungsmengensymbol geschrieben wird, der hier zur Verfügung stehende Formeleditor das aber nicht ermöglicht.

Analog ist das "große" Schnittmengensymbol zu verstehen.

MfG

mokka60