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Mengen in R^3 skizzieren und Volumen berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, mehrdimensionale Analysis, mengen, Skizze einer Menge

Bibabdu aktiv_icon

11:59 Uhr, 18.02.2017

Hallo,
Ich habe hier 2 Aufgaben wo ich jeweils 2 Mengen im

R^{3}

gegeben habe, die ich erst skizzieren muss und danach das Voulmen berechnen. Ich habe auch schon jeweils eine Skizze gefertigt, bin mir aber nicht sicher ob die stimmen.

Erste Aufgabe:

G_{1} := {\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \geq 1 - x_{3}}

und

G_{2} := {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq 1, 0 \leq x_{3} \leq 1}

Skizze von

M = G_{1} \cap G_{2}

und berechne

\int_{M} x_{3}

dV

Zweite Aufgabe :

G_{1} := {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < x_{3}}

und

G_{2} = {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < 1, 0 < x_{3} < 1}

Skizze von

M = G_{1} \cap G_{2}

und berechne

\int_{M} x_{3}

dV

Die Skizzen sind im Anhang.
Vielen Dank im voraus
mbg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

23:04 Uhr, 18.02.2017

Hallo
die erst Skizze ist richtig, Schnitt

x_{2} = 0

ergibt

x_{3} = 1 \pm x_{1}

aber

G 1

ist das Gebiet ausserhalb des Kegels, denn du hast ja

x_{3} > 1 \pm x_{1}

bei 2 ist die Parabel falsch rum, Schnitt mit der

x_{1} - z

Ebene also

x_{2} = 0

ergibt doch

z = x_{1}^{2}

und nicht

z = 1 - x_{1}^{2}

wie du gezeichnet hast. und wieder außerhalb wegen

x_{3} > x_{1}^{2}

Gruß ledum

Bibabdu aktiv_icon

10:41 Uhr, 19.02.2017

Hallo,
Erstmal vielen Dank für die Antwort.
Ja ich erkenne was ich falsch gemacht habe. Jetzt würde ich die Zylinderkoordinaten benutzen um das Volumen auszurechnen.
Bei der ersten Aufgabe habe ich folgende Grenzen:

0 \leq r \leq 1, 0 \leq φ \leq 2 π, 1 - \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \leq z \leq 1

. Kann ich das so machen ?

Bei der zweiten Aufgabe habe ich folgende Grenzen.

0 \leq r \leq 1, 0 \leq φ \leq 2 π, x_{1}^{2} \leq z \leq 1

Vielen Dank im voraus
mbg

ledum aktiv_icon

11:02 Uhr, 19.02.2017

Hallo
in Zylinderkoordinaten hast du doch nicht mehr

x 1

und

x 2

also

z

abhängig von

r

oder

r

abhängig von

z

. kannst du ja an deinen berichtigten Skizzen ablesen.
Gruß ledum

Bibabdu aktiv_icon

11:06 Uhr, 19.02.2017

Hallo,
Dann wäre das bei der ersten Aufgabe für

z : 1 - r \leq z \leq 1

und bei der zweiten Aufgabe

r^{2} \leq z \leq 1

. Ist das besser so?
mbg

ledum aktiv_icon

10:07 Uhr, 21.02.2017

Wenn dieReihenfolge der Integrale entsprechend ist, ja
Gruß ledum

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