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Mengenlehre

Universität / Fachhochschule

Tags: Algebra

anonymous

11:20 Uhr, 25.10.2005

hallo zusammen,

ich habe eine frage, vielelicht kann mir ja jemand weiterhelfen weil ich glaube es handelt sich um ein relativ leichtes gegenbeispiel aber ich komme einfach nicht drauf. ich brauche ein gegenbeispiel fï¿½r

f( M1 geschnitten M2) = f(M1) geschnitten f(M2)

ich weiss nicht ob es wichtig ist aber m1 und m2 sind teilmengen einer Menge M

und es handelt sich um eine Abbildung f: M -> N

wï¿½re cool wenn mir jemand helfen kï¿½nnte. danke im vorraus. Mfg

anonymous

11:48 Uhr, 25.10.2005

oha..die aufgabe brauch ich auch bis donnerstag (kölner uni, LA1?) :D

kann dir leider nicht sehr weiterhelfen, weil ich selbst etwas verwirrt bin von

dem aufgabenblatt. die aussage ist falsch denke ich. ein gegenbeispiel kann

ich mir zwar gedanklich vorstellen, jedoch nicht mathematisch aufschreiben..

2 mengen (m1 und m2) schneiden sich und es gibt eine schnittmenge (m').

hab mir dann überlegt, dass das bild für's gegenbeispiel dann in etwa so

aussehen könnte: 3 verschieden große kreise die in einander liegen. der

kleinste innerste kreis wäre dann f(m1 geschnitten m2), der mittlere kreis

f(m2) und der äußere kreis f(m1).

wenn man jetzt von der rechten seite der gleichung ausgeht: f(M1) geschnitten

f(M2) dann wäre der durchschnitt der mittlere kreis und NICHT der kleinste.

viel grüße!

ps:

darf ich deine bisherigen lösungsansätze zu den anderen aufgaben sehen, die du

evtl schon gemacht hast (speziell aufgaben 8-10) ?

anonymous

12:01 Uhr, 25.10.2005

Morgen! Nimm die Definitionen M1={-1}, M2={1}, f(-1)=f(1)=1. Dann ist f(M1)={1}, f(M2)={1}, daher f(M1)geschnitten f(M2)={1}, aber

M1 geschnitten M2 = leere Menge!

Grüße

anonymous

12:02 Uhr, 25.10.2005

achja, ergänzend: f(leere Menge)=leere Menge. Und damit habt ihr ein Gegenbeispiel!

anonymous

12:16 Uhr, 25.10.2005

Aha danke...funktioniert das mit f-1 (Urbild) anstelle von f genauso oder?

Wenn statt dem geschnitten das vereinigt-Zeichen stünde, dann wäre die Behauptung richtig oder ?

viele grüße

anonymous

12:35 Uhr, 25.10.2005

Man sollte vielleicht noch erwähnen, dass die zugehörige Abbildung des Gegenbeispiels vermutlich f(x)=x^2 oder f(x)=|x| sein sollte. Man kann sich aber als Gegenbeispiel jede beliebige nicht injektive Funktion wählen, da die Gleichheit für injektives f beweisbar ist.

Zur letzten Frage: Ich weiß zwar nicht genau, worauf du hinauswillst, aber f^(-1) existiert im Gegenbeispiel nicht (bzw. ist keine Abbildung/Funktion), weil f eben nicht injektiv sein darf und nur injektive Abbildungen Umkehrabbildungen besitzen.

anonymous

12:39 Uhr, 25.10.2005

Achja, für die Vereinigung ist die Behauptung tatsächlich wahr. (Hab das auch irgendwann mal in LinA 1 bewiesen, meine ich... :) )

anonymous

13:05 Uhr, 25.10.2005

Ich hatte nur nach dem Urbild gefragt weil es in der nächsten Aufgabe gefragt wird.

Selbe Aufgabenstellung, allerdings steht f-1 anstelle von f und die M's sind

durch N's ausgetauscht da f:M->N.

Wenn man in der Aufgabe praktisch dasselbe nur rückwärts machen muss (falsch für

Durchschnitt, richtig für vereinigung) dann ist es mir einleuchtend ? :)

anonymous

13:34 Uhr, 25.10.2005

Hallo nochmal,

Bist du sicher, dass sich sonst in der Aufgabenstellung nichts geändert hat?

Das Problem bleibt nämlich. Wenn f eine beliebige (also auch nicht injektive) Abbildung von M nach N sein kann, dann muss f^(-1): N -> M nicht zwangsläufig existieren.

Nimm als Beispiel einmal f(x)=|x|, f: IR -> IR+. Die Funktion ist nicht injektiv. Die Urbilder eines beliebigen y aus IR+, wären dann y und -y, du hättest also eine zweielementige Menge als Urbild zu jedem y.

f^(-1) müsste also sozusagen IR+ auf IR^2 abbilden, wobei f^(-1)(x) = (x,-x).

Da bei Umkehrfunktionen aber auch immer Definitions- und Wertebereich umgekehrt werden, existiert f^(-1) nicht, weil es nicht von IR+ nach IR geht. (Es sei denn man betrachtet f^(-1) nur als Relation, aber es geht ja um Abbildungen...)

Vielleicht muss man hier die Existenz von f^(-1) als Abbildung voraussetzen und damit die Injektivität. Wenn dem so ist, kann man hier dann beweisen, dass

f(N_1 geschnitten N_2) = f(N_1) geschnitten f(N_2) ist...

anonymous

14:14 Uhr, 25.10.2005

Huhu,

das gehörte alles in eine Aufgabe (hier nochmal die ganze aufgabenstellung):

Die Beziehung des (Ur-)Bilds einer Abbildung zu schnitt- und vereinigungsmengen.

Es sei f:M_> eine abbildung und m_1, m_2 teilmenge von M und n_1, n_2 teilmenge von N. Beweisen sie oder geben sie ein gegenbeispiel an:

a) f-1 (N_1 vereinigt N_2) = f-1 (N_1) vereinigt f-1 (N_2)

b) f-1 (N_1 geschnitten N_2) = f-1 (N_1) geschnitten f-1 (N_2)

c) f1 (N_1 vereinigt N_2) = f1 (N_1) vereinigt f1 (N_2)

d) f1 (N_1 geschnitten N_2) = f1 (N_1) geschnitten f1 (N_2)

ich denke mal dass die existenz eines urbilds vorausgesetzt wurde.

ps:

du meintest ganz unten in deinem letzten kommentar UNGLEICH anstelle von GLEICH oder ?

anonymous

14:48 Uhr, 25.10.2005

Grüß Euch. Mein Gegenbeispiel war ganz konkret aufgeschrieben so gegeben: M={-1,1}, M1={-1}, M2={1}, N={1};

f: {-1,1} -> {1} (also f: M -> N)

Es gilt übrigens bei jeder Funktion f: M -> N mit M1,M2 Teilmenge M:

f(M1 vereinigt M2)=f(M1) vereinigt f(M2), denn:

f(M1 vereinigt M2)={f(x): x aus M1 oder x aus M2}.

Beweis zu "linke Seite Teilmenge rechter Seite":

Ist y aus f(M1 vereinigt M2), so gibt es x aus M1 vereinigt M2 mit f(x)=y.

1.Fall:

Ist x aus M1, so ist y=f(x) aus f(M1), was Teilmenge von f(M1) vereinigt f(M2) ist.

2.Fall:

Ist x aus M2, so ist y=f(x) aus f(M2), was Teilmenge von f(M1) vereinigt f(M2) ist.

In allen Fällen ist also auch y=f(x) aus f(M1) vereinigt f(M2).

Beweis zu "rechte Seite Teilmenge linker Seite":

Sei y aus f(M1) vereinigt f(M2).

1. Fall:

y aus f(M1). Dann gibt's x aus M1 mit f(x)=y. Wegen M1 Teilmenge M1 vereinigt M2 gilt dann:

y=f(x) aus f(M1) Teilmenge f(M1 vereinigt M2), also y aus f(M1 vereinigt M2).

2. Fall:

y aus f(M2). Dann gibt's x aus M2 mit f(x)=y. Wegen M2 Teilmenge M1 vereinigt M2 gilt dann:

y=f(x) aus f(M2) Teilmenge f(M1 vereinigt M2).

In allen Fällen ist also auch y aus f(M1 vereinigt M2).

@ littlehelper:

f^-1 meint nicht die Umkehrfunktion, sondern das Urbild. So wäre für f(x)=x^2 (x aus IR) f^({1})={-1,1}.

Für jede Funktion f: M -> N mit N1, N2 Teilmengen von N gilt:

a) f^-1(N1 geschnitten N2)=f^-1(N1) geschnitten f^-1(N2).

b) f^-1(N1 vereinigt N2)=f^-1(N1) vereinigt f^-1(N2).

Zu a):

"linke Seite Teilmenge rechter Seite":

Ist x aus f^-1(N1 geschnitten N2), so ist y=f(x) aus N1 geschnitten N2. Also ist x aus f^-1(N1) und auch aus f^-1(N2), m.a.W. es ist x aus f^-1(N1) geschnitten f^-1(N2).

"rechte Seite Teilmenge linker Seite":

Ist x aus f^-1(N1) geschnitten f^-1(N2), so ist y=f(x) aus N1 und aus N2. Also ist y=f(x) aus N1 geschnitten N2 und daher gilt auch, dass x aus f^-1(N1 geschnitten N2) ist!

Beweis zu b) mal bitte selbst ausführen!

Grüße

anonymous

14:56 Uhr, 25.10.2005

Ich meinte eigentlich schon "gleich". Aber ich habe nochmal nachgeschaut. f^(-1) bezeichnet gar nicht unbedingt die Umkehrabbildung, sondern lediglich die Menge der Urbilder. D.h. in meinem Beispiel wäre f^(-1)(x) einfach ganz IR, es gäbe nur keine eindeutige Zuordnung genau eines Urbildes zu einem Bild...

anonymous

14:57 Uhr, 25.10.2005

Nochmal zur Klarstellung:

@ littlehelper:

Genauer:

Ist f: M -> N irgendeine Abbildung, so gilt für N1 Teilmenge N:

f^-1(N1)={x aus M, so dass gilt: f(x) aus N1}.

f^-1 meint nicht die Umkehrfunktion, sondern das Urbild. So wäre für f: IR -> IR, f(x)=x^2 (x aus IR) f^-1({1})={-1,1}.

Außerdem wäre z.B. f^-1({1,4})={-2,-1,1,2}. Bitte nochmal Definition vom Urbild nachschlagen!

Grüße

anonymous

14:58 Uhr, 25.10.2005

Oh, "mirfälltnixein" hat meinen Fehler auch schon bemerkt...

Danke :D

anonymous

19:06 Uhr, 25.10.2005

ich bin jetzt zu dem schluss gekommen dass die 2 aussagen mit dem durchschnitt

falsch sind und die 2 mit der vereinigung richtig sind, und habe das auch so mit

deinem ansatz beweisen können (hoffe mal richtig).

PS:

[url=http://onlinemathe.de/read.php?topicid=1000006700&kat=Studium&]Beweis[/url]

Weiß jmd hier einen ansatz oder eine Lösung ? ist nicht mein thread aber die Aufgabe brauch ich auch ;)

anonymous

19:22 Uhr, 25.10.2005

N'Abend! Also nochmal: Was richtig ist, sind die Aussagen

- f(M1 vereinigt M2)=f(M1) vereinigt f(M2)

- f^-1(N1 vereinigt N2)=f^-1(N1) vereinigt f^-1(N2)

- f^-1(N1 geschnitten N2)=f^-1(N1) geschnitten f^-1(N2)

(Beim Urbild klappt alles!!!)

Falsch ist die Aussage f(M1 geschnitten M2)=f(M1) geschnitten f(M2)

(Übrigens hängt das in der Tat mit der möglichen Nicht-Injektivität einer Abbildung zusammen!)

Grüße

anonymous

19:29 Uhr, 25.10.2005

BTW: Meinen Beweis zum Schnitt beim Urbild findest du oben ( 25.10.2005 14:48:34) bzw. hier nochmal rauskopiert:

Für jede Funktion f: M -> N mit N1, N2 Teilmengen von N gilt:

a) f^-1(N1 geschnitten N2)=f^-1(N1) geschnitten f^-1(N2).

Zu a):

"linke Seite Teilmenge rechter Seite":

Ist x aus f^-1(N1 geschnitten N2), so ist y=f(x) aus N1 geschnitten N2. Also ist x aus f^-1(N1) und auch aus f^-1(N2), m.a.W. es ist x aus f^-1(N1) geschnitten f^-1(N2).

"rechte Seite Teilmenge linker Seite":

Ist x aus f^-1(N1) geschnitten f^-1(N2), so ist y=f(x) aus N1 und aus N2. Also ist y=f(x) aus N1 geschnitten N2 und daher gilt auch, dass x aus f^-1(N1 geschnitten N2) ist!

Man zeigt ja für zwei Mengen A,B, das A=B gilt in zwei Schritten:

1. Schritt) A ist Teilmenge von B (oben steht bei diesem Beweisschritt "linke Seite Teilmenge rechter Seite") und

2. Schritt) B ist Teilmenge von A (oben steht bei diesem Beweisschritt "rechte Seite Teilmenge linker Seite")

Grüße

anonymous

19:35 Uhr, 25.10.2005

Oha....dann würde mich interessieren wo der Fehler ist:

f-1 (N1 geschnitten N2) = f-1(N1) geschnitten f-1(N2)

N1={1} f-1(N1)={1}

N2={1} f-1(N2)={-1} <- da z.B. für x2=1 gilt x1=1 und x2=-1

f-1({1}} = {1} geschnitten {-1}

{-1;1} = { }

So käme ich auf einen Widerspruch...Ist bei f-1(N1 bzw N2) der Wurm ?

anonymous

20:05 Uhr, 25.10.2005

N'Abend nochmal. Also, wie auch immer deine Funktion definiert ist, jedenfalls war, wenn ich das richtig sehe, f(-1)=f(1)=1 und ansonsten gab es kein x mit f(x)=1 (wie bei mir oben). Wenn du nun f^-1({1}) betrachtest, so gilt demnach für N1=N2={1} nix anderes als f^-1(N1)=f^-1(N2)={x aus dem Definitionsbereich von f, so dass f(x) Element der Menge {1} ist}={x aus dem Definitionsbereich von f, so dass f(x)=1 gilt}={-1,1}.

Also hast du f^-1(N1) geschnitten f^-1(N2)=f^-1(N1)={-1,1} geschnitten {-1,1}={-1,1}, und f^-1(N1 geschnitten N2)=f^-1{N1}={-1,1}.

Ist f: M -> N eine Abbildung, so gilt für N1 Teilmenge N, dass f^-1(N1)={x aus M, so dass f(x) Element von N1 ist}. D.h. f^-1(N1) ist die Menge aller Elemente aus dem Definitionsbereich, deren Bild unter f in der Menge N1 liegt! Dein Fehler ist, dass Du vermutlich noch die Definition des Urbildes missverstanden hast!

Grüße

anonymous

20:28 Uhr, 25.10.2005

Also seh ich das richtig, dass mein Fehler darin lag, dass ich davon

ausgegangen bin f-1(N1)=-1 und f-1(N2)=1 [vll. hatte ich die Reihenfolge

vorhin anders rum geschrieben] anstelle von f-1(N1) = f-1(N2) = {-1,1} ?

In dem Falle wäre die Aussage in der Tat richtig.

Vielen dank für deine Zeit und Mühe das zu erklären ;)

anonymous

22:41 Uhr, 25.10.2005

Genau, das siehst du richtig. Übrigens ist das Urbild einer Menge immer wieder eine Menge!

Grüße

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