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Messpunkte-Simulation mit anschließender Schätzung
Universität / Fachhochschule
Erwartungswert
Tags: Ansatz unklar
 
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Hallo Mathefreunde, folgende Problemstellung: Ich will einen Zylinder auf korrekten Durchmesser messen. Nun soll der Zylinder an keiner Stelle ein bestimmtes Maß überschreiten. Der Solldurchmesser ist: 105mm mit einer Toleranz von . Nun ist eine Messung an "allen" Stellen des Zylinders nicht möglich, sodass ich an folgende Herangehensweise gedacht habe: 1. Simulation von sehr vielen Messpunkten (50.000?), welche alle innerhalb des Toleranzbereichs liegen. (Simulation mittels Statistik-Programm? Kann jemand eines empfehlen?) 2. Bilden von Residuen zur Ideallinie, welche 104,98mm beträgt und mittels der "Methode der kleinsten Quadrate" einen summierten Wert dieser Residuen ermitteln. 3. Nun möchte ich ca. echte Messpunkte am Zylinder durchführen, wieder die Residuen bilden und anschließend mittels der Standardnormalverteilung berechnen, ob ich mit den Stichprobenmesspunkten in dem Bereich der kleinsten Quadrate liege, welchen ich zuvor simuliert habe. Nun meine Frage: erscheint die Vorgehensweise sinnvoll? Und vor allem: wie approximiere ich mittels Gauß und den realen Messpunkten, ob ich nah am zuvor berechneten Wert der kleinsten Quadrate liege? Vielen Dank und viele Grüße |
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Hallo Darf ich mal meine Gedanken anbieten, in der Hoffnung uns allen ein wenig besser Verständnis zu fördern, was der Kern des Anliegens ist. Du sprichst von einem Zylinder, aber nur von einem Durchmesser. Ich will ahnen, dass du eigentlich ein zwei-dimensionales Problem im Sinn hast und einen Kreis. Ja? Ich hatte selbst mal in der Praxis ein vielleicht ähnliches Problem, nämlich Messdaten einer Messmaschine. In meinem Fall war es dann so, dass ich eigentlich ein drei-parametriges Problem hatte, nämlich das Kreis-förmige Teil ist irgendwo auf der Messmaschine aufgespannt, . wir wissen a-priori nicht, wo der Kreis-Mittelpunkt liegt, wir betrachten zwei-dimensionale Messdaten, nennen wir sie mal und die angeblich alle auf der Kreisoberfläche liegen, über diese Messdaten kann man nun mittelnd sicher eine Kreisfunktion mitteln, mit den Parametern -Position des Kreismittelpunkts -Position des Kreismittelpunkts Durchmesser des Kreises wie gesagt, eben 3 Parameter. Wenn ja, dann: Rein mathematisch sicherlich keinerlei Problem. Das traue ich selbst jedem Tabellenkalkulationsprogramm zu, selbst wenn es wie angesprochen Messpunkte wären. Jetzt sprichst du von 'Simulation'. Was meinst du damit? In meinem Praxis-Beispiel (oben angesprochen) tatsächlich von einer 3D-Messmaschine hatten wir nicht nicht Messpunkte, sondern einige Hundert. "...welche alle innerhalb des Toleranzbereichs liegen." Ein frommer Wunsch. Ich weiß ja nicht, was deine Messung leistet. Mein Beispiel damals jedenfalls hagelte nur so von Ausreißern. Angesichts von eben einigen hundert Messpunkten war es aber noch plausibel, visuell (hoffentlich) eindeutig und praktisch handbar, schlichtweg die Ausreißer zu identifizieren und zu löschen. Solltest du tatsächlich Messpunkte haben, dann wird das evtl. etwas happiger. Sollten wir die Identifikation von Ausreißern aber weiter thematisieren, dann müsstest du zu verstehen geben, ob ich damit eine deiner Unsicherheiten getroffen habe. Du sprichst von 'Residuen'. Wenn du verrätst, was du damit meinst, idealerweise welcher mathematische Ansatz du als angemessen für die Beschreibung dieses 'Residuums' für angemessen hältst, dann wird der Personenkreis die dir sinnvoll antworten können, evtl. mindestens um mich reicher. |
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Hallo calc007, vielen Dank für deine detailierten Gedanken Hier wohl eine Ungenauigkeit meinerseits: Ich will auf der gesamten (Anhang Zylinderoberfläche "unendlich" viele Messpunkte innerhalb des Toleranzbereiches "simulieren" ebenfalls Antwort auf Ich selbst messe also nicht mal, sondern das Programm. Bei mir ist es fast genau so: Ich hab halt diese Kreise mehrfach auf den Zylinder verteilt. Der Zylinder ist beipielsweise 50mm hoch ist (Z-Achse) und nun messe ich mehrfach diese x/y-Werte auf verschiedenen z-Achs-Ebenen "Residuuen" hab ich aus der Regressionsanalyse entliehen. Mein angehängtes Bild (Anhang verdeutlicht dies: Blaue Punkte sind Messpunkte, also Abweichungen von der roten Ideallinie. Der Abstand von Punkt zu Linie ist ein Residuum. Diese Residuen werden quadriert und summiert und man erhält einen Wert, welcher als "KLeinste Quadrate Schätzer bezeichnet wird, soweit mein Verständnis. Ich hoffte mit der Regressionsanalyse irgendwie aus vielen simulierten Messpunkten, welche innerhalb des Toleranzbereiches liegen, einen Wert festlegen zu können, welcher es erlaubt im Anschluß nur Messpunkte am tatsächlichen Werkstück durchzuführen und dann aus den Residuen der tatsächlich gemessenen Werten mittels Gauß anzunähern, ob wirklich der komplette Zylinder innerhlab des Toleranzbereiches liegt (oder eben nur die Punkte).   |
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Ich hab halt diese Kreise mehrfach auf den Zylinder verteilt. Wie kannst du durch bloßes Messen der Durchmesser sicher sein, dass es sich um Kreise handelt? Selbst wenn überall der gleiche Durchmesser vorliegt, muss es noch kein Kreis sein Gleichdick siehe zB www.mathematische-basteleien.de/gleichdick.htm Wozu du etwas simulieren möchtest um die Simulationsergebnisse dann mit den tatsächlichen Messdaten zu vergleichen ist mir nicht erklärlich. Du kennst doch die gewünschten Soll-Situation und solltest doch eher mit dieser vergleichen, oder? |
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@ Roman: genau, mein Zylinder scheint diese "Gleichdick" Problematik aufzuweisen. Es hilft mir also nicht, dass gemessene Punkte innerhalb einer gewissen Toleranz liegen. Es müssen alle Punkte, also unendlich viele, innerhalb dieser Toleranz liegen. Und zwar nicht nur auf also dem Kreis, sondern zusätzlich noch auf . Diese Menge an Messpunkten ist natürlich im echten Leben nicht zu realisieren. Daher dachte ich, man könnte unendlich viele Messpunkte generieren um daraus ein Maß etablieren, welches dann mittels einer Stichprobenmessung anzustreben gilt. Ich messe alos ich mit der Messmachine Punkte, und approximiere irgendwie die unendlichen Messpunkte. Mit wecher Funktion man approximiert ist ja egal. Ich muss dazu sagen; ich bin kein Messtechniker, aber ich stehe vor dem Problem, dass der zuständige Messtechniker meine Anforderungen an das Werkstück nicht gemessen bekommt und ich mich nun selbst auf den Weg mache, eine Lösung zu finden. |
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zu Es würde schon helfen, wenn du die Frage, ob nun 2-dimensional, oder 3-dimensional auch wirklich beantworten wolltest. Aus deinen Halb-Antworten könnte man orakeln, dass du zwar in mehreren Ebenen untersuchen willst, jede Ebene und Untersuchung aber eigentlich 2-dimensional als Kreis angesetzt wird, unabhängig von weiteren Untersuchungen auf anderen Ebenen. Wie viele Parameter hältst du denn nun für angemessen? Die drei, die ich angesprochen hatte? zu Deine Andeutungen betreffen wohl eher die Standardabweichung. Wenn wir eine Theorie für den gemittelten Durchmesser haben, dann können wir jeder 'Messung' eine Abweichung in Form der radialen Abweichung von diesem gemittelten Durchmesser errechnen. Hieraus die Standardabweichung zu errechnen ist wieder 'Standard', das lernt man in den ersten Stunden Stochastik. Dann möchte man aus deinen Andeutungen vermuten, dass du an Normalverteilung denkst. Ja? zu Wiederum hast du nicht wirklich Antwort gegeben. Aber aus deinen Andeutungen könnte man vermuten, dass du wiederum ein gängiges Verfahren im Sinn hast, nämlich: Aus wenigen Messungen (du sprichst beispielhaft von per statistischer Vorgehensweise eben Mittelwert und Standardabweichung ermitteln. Und dann in Annahme, dass sich die gesamte Oberfläche tatsächlich genauso verhält, wie aus dieser Stichprobe aus Messungen ermittelt. Also, in Annahme von Normalverteilung die gesamte Oberfläche den gleichen Mittelwert hat, wie die Stichprobe, die gesamte Oberfläche die gleiche Standardabweichung hat, wie die Stichprobe. Ja, möglich und sehr gängig. Wahrscheinlich wäre nun hilfreich, wenn du auch zu verstehen gäbst, was die 'Simulation' bezwecken soll. Bedenke: Die beschriebene Vorgehensweise per Normalverteilung beantwortet nicht die Frage nach der tatsächlichen (größten) Abweichung vom gemittelten Durchmesser. Die Gauß-Glockenkurve vor Augen muss man sich einfach klarmachen, dass auch Stellen mit Durchmesser mm möglich sind. Zwar sehr, sehr, sehr unwahrscheinlich. Aber diese Vorgehensweise beantwortet nicht, falls du das erwarten wolltest, wo eine Grenze wäre, für die größte Abweichung. Sie kann höchstens eine Abschätzung irgendwelcher Wahrscheinlichkeiten bieten. . irgendwas wie: Mit einer Wahrscheinlichkeit von sind bei Wahl von 'Simulationspunkten" alle Oberflächen-Stellen innerhalb von ...110...mm . statistisch ist das Verfahren nicht begrenzt. "unendlich viele Messpunkte", hmmm wird deinen Computer überfordern, nicht aber das Verfahren. Für "unendlich viele Messpunkte" kommt eben die (kontinuierliche) Verteilungskurve der Normalverteilung raus. Für 'endliche' Anzahl an Messpunkten sind die Formeln hinreichend bekannt, eine Verteilung konkreter 'Simulations'-Punkte zu errechnen - falls ich dich soweit recht verstanden habe. |
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@calc007 Die Kreise sind Dimensional übereinander angeordnet, also 3-Dimensional, so wie du richtig vermutest. Zu den drei genannten Parametern, Mittelpunk, und würde ich also hinzuzählen, da der Zylinder ja nicht schief sein darf, also die übereinanderliegenden Kreise alle den selben Mittelpunkt haben müssen. ich dachte an die Standardnormalverteilung, jedoch nur im ersten Impuls. Vll passt ja ein anderes Verfahren besser? Und wie ich dies so schreibe, fällt mir ein: meine angedachte "Simulation" ist sinnlos. Denn diese "Simulation" von unendlich vielen Messpunkten IST ja die Standardnormalverteilung. got it. :-D) So dachte ich mir das: ich nehme wenige Messpunkte und berechne damit, ob sich die gesamte Fläche nun im Toleranzbereich befindet oder eben nicht. Mein Problem ist: Befinden sich diese Messpunkte innerhalb des Toleranzbereiches, so kann dies trotzdem Zufall sein. Wie berechne ich, ob dies nun Zufall ist oder nicht? Und da dachte ich an eine Verteilung, die mir sagt: wenn innerhalb des Toleranzbereiches dann sind alle anderen Punkte zu innerhalb des Toleranzbereiches. |
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zu Streng mathematisch sind deine Angaben immer noch widersprüchlich. Um mal zu Potte zu kommen: Ich vermute mal - du kannst ja zustimmen oder widersprechen... dass deine Denke eigentlich 2-dimensional ist, mit den drei Parametern Durchmesser, wie angesprochen und das in jeder Ebene, nämlich erst mal in der ersten Ebene, dort die zugehörige Mittelung durchführen, . Mittelpunktkoordinaten ermitteln, Durchmesser ermitteln, Standardabweichung ermitteln, . und was immer du damit anstellen willst. dann in der nächsten (zweiten) Ebene, dort die zugehörige Mittelung durchführen, . Mittelpunktkoordinaten ermitteln, Durchmesser ermitteln, Standardabweichung ermitteln, . und was immer du damit anstellen willst; ganz unabhängig davon, was du in der ersten Ebene getätigt hast. dann in der nächsten (dritten) Ebene, dort die zugehörige Mittelung durchführen, . Mittelpunktkoordinaten ermitteln, Durchmesser ermitteln, Standardabweichung ermitteln, . und was immer du damit anstellen willst; ganz unabhängig davon, was du in den ersten beiden Ebenen getätigt hast. . . . . dann in der letzten Ebene, dort die zugehörige Mittelung durchführen, . Mittelpunktkoordinaten ermitteln, Durchmesser ermitteln, Standardabweichung ermitteln, . und was immer du damit anstellen willst; ganz unabhängig davon, was du in den vielen vorigen Ebenen getätigt hast. |
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"Wie berechne ich, ob dies nun Zufall ist oder nicht?" Das Verfahren / das Prozedere / der Ansatz geht davon aus, dass du davon ausgehst, dass Zufall dahinter steckt. "Und da dachte ich an eine Verteilung, die mir sagt: wenn innerhalb des Toleranzbereiches dann sind alle anderen Punkte zu innerhalb des Toleranzbereiches." Wie schon gesagt: Du musst zwei Dinge festlegen, die dir das Verfahren nicht errechnen. Sondern DU musst die festlegen, nämlich eine Wahrscheinlichkeit und eine 'Simulationspunkte'-Anzahl, (wie du es nennst). Wenn du dich so festlegen willst, dann wie gesagt, wird dir dieses Verfahren statistisch beantworten: irgendwas wie: Mit einer Wahrscheinlichkeit von sind bei Wahl von 'Simulationspunkten' alle Oberflächen-Stellen innerhalb von ...110...mm . Und auch wie gesagt: Die Rechenformeln hierzu sind hinreichend bekannt. (Insbesondere, falls wir uns denn nun endlich auf Normalverteilung stürzen wollten.) PS: Uppps - nein - ich korrigiere. Wir werden sinnvollerweise von kontinuierlicher Verteilung ausgehen. . du musst tatsächlich nur EINEN Parameter festlegen, die Wahrscheinlichkeit. Dann lautet die Verfahrensaussage: . irgendwas wie: Mit einer Wahrscheinlichkeit von liegen alle (kontinuierlichen) Stellen innerhalb von irgendeiner Toleranz . mm oder deiner Toleranzgrenze). |
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Oke, dann stürzen wir uns auf die Normalverteilung mit und . :-D) |
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...wenn du uns noch verraten wolltest, was du unter "alpha" verstanden haben wolltest... |
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Ja, mit hab ich wohl was durcheinander gebracht. Nehmen wir also an, ich will haben, das zu alle Punkte im Toleranzbereich sind. :-) |
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Die Frage, ob wir denn nun die Normalverteilung nutzen wollen, werde ich mir dann wohl selbst bejahen müssen. Dann wird's endlich einfach: Da gibt's Tabellen (und Formeln), die besagen: aller 'Ereignisse' (Oberflächenstellen) liegen innerhalb eines Intervalls von Mittelwert - 2,17*Standardabweichung] bis Mittelwert 2,17*Standardabweichung] (...weil die grau angedeuteten Flächen zusammen der Gesamtfläche einnehmen). PS: Entschuldigung. Ich hatte überlesen! Um hattest du dich auf Normalverteilung festgelegt.  |
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@calc vielen Dank für deine gestrige Geduld, dass war ja ein abendfüllendes Intermezzo für dich. Heute ging´s so weiter: Ich hab vom Messtechniker ein Protokoll bekommen, welches Messpunkte auf einem Kreis beinhaltet, inklusive der Standarabweichung dieser Messpunkte. Die Messwerte waren tatsächlich alle innerhalb der Toleranz. Als ich jedoch meinen Idealdurchmesser, den Maximal-Messpunkt und diese Standardabweichung in die Formel zur Berechnung eines Phi-Wertes geklopft habe kam heraus: Nur zu sind ALLE Messpunkte auf diesem Kreis in der Standardabweichung, obwohl kein einziger der Messpunkte außerhalb der Toleranz war. Nochmal: Danke, deine Mühen mit einem anonymen Internetuser haben Auswirkungen in der realen Welt. ;-) |
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