Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Methode der Charakteristik

Methode der Charakteristik

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

Benny33 aktiv_icon

16:41 Uhr, 08.03.2018

Hallo alle zusammen.
Hier noch eine weitere Übungsaufgabe wo ich überhaupt nicht weiter komme ,da ich das Thema als sehr schwer empfinde.

Hoffe das mir jemand bei der

i)

helfen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Benny33 aktiv_icon

19:06 Uhr, 08.03.2018

Ansatz:

φ (t) = u (x (t), t)

φ

(t) = x' (t) \cdot δ x u (x (t), t) + δ t u (x (t), t)

x

(t) = 2, x (0) = x 0

x (t) = 2 t + C

x (0) = C = x 0

x (t) = 2 t + x 0

φ' (t) = 2 t \cdot φ (t)

d \frac{φ}{d t} = 2 t \cdot φ (t)

φ = e^{t^{2}} \cdot e^{c}

Soweit richtig ?

Wie kann man weiter vorgehen?

DrBoogie aktiv_icon

19:57 Uhr, 08.03.2018

Keine Ahnung, was Du hier machst. Ich sehe keine einzige charakteristische Kurve.
Schon die 2. Zeile kann nicht richtig sein. Wobei wiederum unklar ist, was

δ

überhaupt bedeutet.

Benny33 aktiv_icon

20:22 Uhr, 08.03.2018

Das

δ

soll das komische Zeichen von der Aufgabe sein ?

Schade dass es falsch ist .

Hatte große Hoffnungen

Ist es wirklich total falsch ?

DrBoogie aktiv_icon

20:27 Uhr, 08.03.2018

"Ist es wirklich total falsch ?"

Erklär, was Du gemacht hast. Ich kann keinen Ansatz erkennen.

Statt \delta musst Du \partial nutzen für die partielle Ableitung.

Benny33 aktiv_icon

20:32 Uhr, 08.03.2018

Puh dann weiß ich ehrlich gesagt auch nicht wie ich rechnen soll ?

DrBoogie aktiv_icon

20:36 Uhr, 08.03.2018

Wie hast Du denn das gerechnet?

Wenn Du es nicht weißt, kuck hier:
http://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/pde/pde.pdf
Beispiel Seite 8

Oder such selber Beispiele im Netz zu "Methode der Charakteristiken"

Benny33 aktiv_icon

20:49 Uhr, 08.03.2018

ok dann mache ich es so wie auf dieser Seite:

Die Anfangsbedingung lautet ja :

u (x (t), t)

Jetzt 3 Bedingungen aufstellen oder wie ?

x (x 0, s)

Oder nur eine Bedingung?

Benny33 aktiv_icon

20:53 Uhr, 08.03.2018

Bei uns im Skript stand es so ?

DrBoogie aktiv_icon

20:53 Uhr, 08.03.2018

"Die Anfangsbedingung lautet ja"

Das ist keine Bedingung.

Ja, Du brauchst drei Gleichungen und drei Anfangsbedingungen.

Benny33 aktiv_icon

20:57 Uhr, 08.03.2018

Ich gehe mal einfach wie die Seite vor :

x (0, s) = x_{0} (s)

y (0, s) = y_{0} (s)

u (0, s) = u_{0} (s)

Aber was muss ich jetzt weiter machen ?
Ist so kompliziert

DrBoogie aktiv_icon

21:01 Uhr, 08.03.2018

Du musst wohl weiter lesen. Wenn diese Erklärung nicht reicht, brauchst Du halt andere.
Kannst auch mit dem Youtube versuchen:
www.youtube.com/watch?v=tzc5wvPzglg

Benny33 aktiv_icon

21:02 Uhr, 08.03.2018

Das Video habe ich bereits angeschaut ,aber trotzdem nicht alleine geschafft ,da meine AUfgabe ein wenig anders ist.

DrBoogie aktiv_icon

21:08 Uhr, 08.03.2018

Deine ist einfacher.

Benny33 aktiv_icon

21:14 Uhr, 08.03.2018

Meinst du meinen ersten Ansatz?

DrBoogie aktiv_icon

21:16 Uhr, 08.03.2018

Du hattest keinen Ansatz.

Die Aufgabe an sich in einfacher als im Video. Aber sie wird trotzdem genauso wie im Video gelöst.

Benny33 aktiv_icon

21:20 Uhr, 08.03.2018

Ich habe mit dem Video ein Ansatz gebaut:

u (x, y)

u (s) = u (x (s), y (s))

Bedingungen :

u (s = 0) = x_{0}

x (s = 0) = x_{0}

y (s = 0) = x_{0}

Soweit ok?

Kannst gerne paar weitere tipps geben ?

Benny33 aktiv_icon

21:26 Uhr, 08.03.2018

du/ds = du/dx

\cdot

dx/ds

+

du/dy*dy/ds

2 t =

du/dx*2

+

du/dy*1

Keine Ahnung ob meine Bezeichnungen so stimmen?

Benny33 aktiv_icon

22:01 Uhr, 08.03.2018

Irgendwas stimmt nicht an meinem Weg:

dt/ds

= \frac{d t}{d x} \cdot

dx/ds

+ \frac{d t}{d y} \cdot

dy/ds

2 t = \frac{d t}{d x} \cdot 2 + \frac{d t}{d y} \cdot 1

Gleichungen :

I . dt/ds

= 2 t

2. dy/ds

= 1

3. dx/ds

= 3

umgewandelt ds zu

d y

\frac{d t}{d y} = 2 t

ln (t) = 2 y + C

t = e^{2 y} \cdot e^{c}

Ich glaube meine 3 Bedingungen vom Anfang sind nicht ganz so richtig?

Bitte um Hilfe

DrBoogie aktiv_icon

22:03 Uhr, 08.03.2018

Was soll denn jetzt

y

sein? Du hast doch kein

y

.
Wie Du auf

3

kommst, ist mir auch ein Rätsel.

Benny33 aktiv_icon

22:06 Uhr, 08.03.2018

Im Video hat er auch 3 genommen ?

Wie sollen denn meine Bedingungen aussehen ?

Ist meine Rechnung richtig ?

DrBoogie aktiv_icon

22:08 Uhr, 08.03.2018

Wie kann es denn richtig sein, wenn bei Dir

y

steht, obwohl kein

y

in der Aufgabe vorkommt?
Du bist durcheinander, weil Du vermutlich zu schnell bist. Du musst Dir Zeit lassen, so schnell lernt man das nicht.

Benny33 aktiv_icon

22:12 Uhr, 08.03.2018

Bei der Aufgabe ist nur ein

x

und

t

oder ?

Ich versteh jetzt ehrlich gesagt nicht wie ich hier die Gleichung aufstellen soll ?

DrBoogie aktiv_icon

22:15 Uhr, 08.03.2018

Na, wie im Video, man nimmt an, dass

x

und

t

von

s

abhängig sind und schreibt

\partial_{t} u (x, t)

und

\partial_{x} u (x, t)

auf, gemäß Differentialrechnung.
Da hapert aber bei Dir, denn Du verstehst nicht mal den Unterschied zwischen

\partial

und

d

.
Und es ist wirklich schwer, DGLs zu lernen, wenn man solche Lücken bei Analysis hat.

Benny33 aktiv_icon

22:29 Uhr, 08.03.2018

Für den linken Summanden du/dt ?

DrBoogie aktiv_icon

22:43 Uhr, 08.03.2018

Richtig ist:
man nimmt, dass

x

und

t

von

s

abhängig sind.
Dann gilt

\frac{d u}{d s} = \frac{\partial u}{\partial t} \frac{d t}{d s} + \frac{\partial u}{\partial x} \frac{d x}{d s}

und der Vergleich mit der ursprünglichen Gleichung

2 t = \frac{\partial u}{\partial t} + 2 \frac{\partial u}{\partial t}

ergibt

\frac{d t}{d s} = 1

\frac{d x}{d s} = 2

und

\frac{d u}{d s} = 2 t

.
Dazu kommen die Anfangsbedingungen

x (0) = x_{0}

t (0) = 0

und

u (0) = x_{0}

.

Die Lösung der 1. Gleichung ist

t = s + c_{1}

, wegen der Anfangsbedingung gilt

c_{1} = 0

,
also

t = s

. Dann können

s

durch

t

in den 2 anderen Gleichungen ersetzen und bekommen

\frac{d x}{d t} = 2

und

\frac{d u}{d t} = 2 t

.
Die Lögungen davon sind

x = 2 t + c_{2}

u = t^{2} + c_{3}

.
Wegen der Anfangsbedingungen muss gelten

c_{2} = c_{3} = x_{0}

.
Damit haben

t = s

x = 2 t + x_{0}

und

u = t^{2} + x_{0}

. Wegen

x = 2 t + x_{0}

gilt

x_{0} = x - 2 t

,
das setzen wir in

u = t^{2} + x_{0}

und bekommen

u = t^{2} + (x - 2 t)

.
Und das ist die Lösung.

Benny33 aktiv_icon

23:03 Uhr, 08.03.2018

Woher weiß man das

t (0) = 0

ist ?

Ich muss glaub ich heute nochmal versuchen selbst die aufgäbet und rechnen mit deiner Lösung

DrBoogie aktiv_icon

23:05 Uhr, 08.03.2018

Das weiß man nicht, das entscheidet man. Es gibt bei dieser Methode bestimmte Freiheiten, die man nutzen kann.

Benny33 aktiv_icon

23:13 Uhr, 08.03.2018

Hahah ok.

Das war nur die

i)

oder Dr Boogie?

Das sind sozusagen die Kurven

DrBoogie aktiv_icon

23:18 Uhr, 08.03.2018

Das war i bis v, es fehlt nur die Probe.

Die Kurven sind

(x (t), t) = (2 t + x_{0}, t)

DrBoogie aktiv_icon

23:19 Uhr, 08.03.2018

Aber da die Gliederung der Aufgabe meinem Vorgehen nicht entspricht, vermute ich, dass bei Euch in der Vorlesung diese Geschichte bisschen anders erzählt wurde. Weiß nur nicht wie.

Benny33 aktiv_icon

23:20 Uhr, 08.03.2018

Aha gut.

Ich rechne jetzt erst mal die Aufgabe durch .

Wie macht man die Probe?

DrBoogie aktiv_icon

23:21 Uhr, 08.03.2018

Du setzt die Lösung in die Gleichung und in die Anfangsbedingung und prüfst, ob beide aufgehen.

DrBoogie aktiv_icon

23:23 Uhr, 08.03.2018

Du setzt die Lösung in die Gleichung und in die Anfangsbedingung und prüfst, ob beide aufgehen.

Benny33 aktiv_icon

23:23 Uhr, 08.03.2018

Ok .Ich hacke aber den Thread noch nicht ab ,da ich vielleicht beim rechnen nochmal erfahrungsgemäß fragen auftreten .

Aber danke für deine Mühe