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MIKROÖKONOMIK

Universität / Fachhochschule

Tags: mikro, vwl

Strache aktiv_icon

19:08 Uhr, 17.08.2009

HI!
hoffentlich sind hier auch ein paar Volkswirte dabei :-)
ich habe hier ein paar fragen. Wäre toll wenn Sie beantwortet werden können! Habe in meinen Bücher oder sonstiger Literatur nichts darüber gefunden:

1. Wie berechne ich die Konsumenten Rente und Produzentenrente aus einer gegebenen Nutzenfunktion?

2. Schneiden sich langfristige und kurzfristige Durchschnittskosten irgendwann?Schneiden sich DK und DVK ??

3. kann eine Funktion monton und konkav sein?

4. Wie bestimmt man anhand einer Nutzenfunktion

U (x 1, x 2)

ob die Güter Inferior? Giffen? Luxus?

Was gilt für Inferior und Luxus Güter bei Preisveränderungen für deren Nachfrage?
habe diese beiden Formen bisher nur mit konstanten Preisen und flexiblem Einkommen definiert!

5. Wie berechnet man die Skalenerträge? Bei CobbDouglas ist es mir klar! Ich meine aus einer Produktionsfunktion wie zb

q = x 1 \land 1 \div 3 ⋆ x 2 \land 1 \div 3

(q = x 1

hoch eindrittel

\cdot x 2

hoch eindrittel )
6. Wie berechnet ich Isoquanten?

Hoffentlich könnt ihr überhaupt etwas damit anfangen!

freu mich auf eure antworten und eure Hilfe!

Michael79 aktiv_icon

13:05 Uhr, 18.08.2009

Hallo,
na dann werde ich mich da mal dran versuchen:

1. Wie berechne ich die Konsumenten Rente und Produzentenrente aus einer gegebenen Nutzenfunktion?
Gar nicht. Die Konsumentenrente ist die Fläche unter der Nachfragefunktion bis zur GG-Menge abzüglich dessen, was die Konsumenten tatsächlich bezahlen - also dem Recteck GG-Menge

\cdot

GG-Preis.
Also wenn Du eine Nutzenfunktion hast, musst Du aus der erstmal die Nachfragefunktion ableiten (maximiere Nutzen

u . d . N

. Budgetbeschränkung), dann irgendwoher die Angebotsfunktion bekommen, das Markt-GG (Angebotsfunktion = Nachfragefunktion) ausrechnen und dann kannst Du Dich an die Renten machen...
Die Produzentenrente ist übrigens dann die Fläche unter der Angebotsfunktion bis zur GG-Menge.

2. Schneiden sich langfristige und kurzfristige Durchschnittskosten irgendwann?Schneiden sich DK und DVK ??
Leider weiß ich weder, was DVK sind, noch was der Unterschied zwischen lang- und kurzfristigen Kosten ist

: (

Da möchte ich lieber nicht spekulieren...

3. kann eine Funktion monton und konkav sein?
Klar. Wieso nicht? Die Wurzelfunktion ist das

z

. B.

. .

.

4. Wie bestimmt man anhand einer Nutzenfunktion

U (x 1, x 2)

ob die Güter Inferior? Giffen? Luxus?
Hier geht es um die Einkommenselastizität der Nachfrage. Das heißt Du rechnest wieder wie oben die Nachfragefunktion aus und bildest dann dx/dE*E/x mit

E =

Einkommen.
Wenn diese Elsatizität

< 0

ist, dann ist es ein Giffen Gut (bzw. "absolut inferior")
Ist sie

< 1,

ist es inferior (bzw. "relativ inferior").
Ist sie

> 1,

ist es ein Luxusgut (bzw. "superior")

Was gilt für Inferior und Luxus Güter bei Preisveränderungen für deren Nachfrage?
habe diese beiden Formen bisher nur mit konstanten Preisen und flexiblem Einkommen definiert!

Bei Preisänderungen gibt es immer einen Einkommenseffekt (weil das Realeinkommen ja mit den Preisen variiert) und einen Substitutionseffekt (weil der Relativpreis sich ändert). Der Substitutionseffekt ist immer negativ (steigende Preise = sinkende Nachfrage).
Der Einkommenseffekt muss aber dazu addiert werden. Er ist normalerweise auch negativ (oder null), wenn es sich aber um ein absolut inferiores Gut handelt, ist er positiv. Dann kann er ggf. größer sein als der Substitutionseffekt, so dass die Nachfrage mit einer Preissteigerung steigt.

5. Wie berechnet man die Skalenerträge? Bei CobbDouglas ist es mir klar! Ich meine aus einer Produktionsfunktion wie zb q=x1∧1÷3⋆x2∧1÷3?

(q = x 1

hoch eindrittel ⋅x2 hoch eindrittel )
Diese Funktion ist doch eine CD-Funktion.
Hier also: Wenn Du beide Inputs um den Faktor a erhöhst, steigt Dein Output um

b :

bq = (ax1)^(1/3)

\cdot

(ax2)^(1/3)

= a^{\frac{1}{3}} \cdot q

b = a^{\frac{1}{3}}

Wegen

b < a

hast Du hier fallende Skalenerträge...

6. Wie berechnet ich Isoquanten?
Was für Isoquanten? Ich vermute 'mal es geht um Produktions-Isoquanten,

d

h

. die Punkte aller möglichen Inputkombinationen, die zum Output "q*" führen:
Dazu setzt Du einfach "q*" in die Produktionsfunktion ein und löst nach

x 1

auf. Dann erhälst Du

x 1 (x 2,

"q*") und kannst eine Schar von Funktionen in ein

x 1 - x 2

Diagramm zeichnen...

Ich hoffe, das hilft Dir ein bißchen.

Viele Grüße
Michael

Strache aktiv_icon

13:48 Uhr, 18.08.2009

Lieber Michael.

Tausend Dank! hast mir sehr geholfen.

zu Punkt 5 aber noch eine Anmerkung:

Eine CobbDouglas Funktion ist doch definiert als

x 1^{α}

⋅

x 2)^{1 - α}

diese ist doch hier eben nicht der fall??
die berechnung habe ich immernoch nicht verstanden.
warum ist denn

b < a

hoch

\frac{1}{3}

b = b

hoch 1 und daher größer als

\frac{1}{3}

oder??
Ich dachte immer ich bilde die 2.Ableitung und betrachte dann ob sie konkav/konvex sind und schliesse so auf die skalenerträge.??

Vielen Dank

Sebastian

Michael79 aktiv_icon

14:12 Uhr, 18.08.2009

Hallo Sebastian,

Eine CobbDouglas Funktion ist doch definiert als x1α ⋅ x2)1-α
diese ist doch hier eben nicht der fall??
Nein, soweit ich weiß, ist jede Funktion der Form

y = x 1^{a} \cdot x 2^{b}

eine CD-Funktion. Dass sich die Exponenten (oft) zu eins addieren, ist nur ein nettes "Feature", aber nicht unbedingt nötig... Letztlich aber ja nur eine Definitionssache...

die berechnung habe ich immernoch nicht verstanden.
warum ist denn

b < a

hoch

13

b = b

hoch 1 und daher größer als

13

oder??
Zugegeben mit dem

b

hab' ich mich selber übertroffen. Das ist natürlich Unsinn. Gemeint war: Wenn Du

x 1

und

x 2

um den Faktor a erhöhst, erhöht sich

q

um den Faktor

b = a^{\frac{1}{3}}

und weil

a > a^{\frac{1}{3}}

bzw.

\frac{1}{3} < 1

sind die Skalenerträge negativ...

Ich dachte immer ich bilde die 2.Ableitung und betrachte dann ob sie konkav/konvex sind und schliesse so auf die skalenerträge.??
Hmmm... Dass das funktioniert, kann ich mir schwer vorstellen. Immerhin hast Du dann ja partielle Ableitungen, willst aber ja wissen, was passiert, wenn Du beide Inputs gleichzeitig variierst... Wenn Du nur einen Input hast, ist das völlig OK. Bsp.:

q = x^{c}

q' = c x^{c - 1}

q'' = (c^{2} - c) \cdot x^{c - 2}

q (x)

ist also konvex und hat damit steigende Skalenertäge (konkav), wenn

c > 1 (< 1)

.
Dasselbe bekommst Du auch über die "Ich erhöhe mal alle Inputs-Methode":

b \cdot q = {(a \cdot x)}^{c}

b = a^{c}

\Rightarrow

Steigende Skalenerträge für

c > 1

.

Aber wie willst Du Deine Methode für mehr als einen Input anwenden?

Viele Grüße
Michael

Strache aktiv_icon

18:03 Uhr, 18.08.2009

Servus,

Aber wie willst Du Deine Methode für mehr als einen Input anwenden?

hahaha genau das war ja mein Problem! Aber du hast es gelöst! ich danke dir!
da dir das ja sehr viel Spass gemacht hat werde ich schon bald ein paar neue fragen an dich haben :-)

1000

dank

grüße

Strache aktiv_icon

19:12 Uhr, 18.08.2009

Ich bins nochmal.

1 .)

habe mir deine erklärung bzgl der Skalenerträge angeschaut!
du multiplizierst also die Inputs mit einem faktor! der faktor erhält dann die Hochzahl vom jeweiligen input.
was passiert dann? rechnet man die "a" zusammen? dann hättest du aber die Hochzahlen addieren müssen.

DVK = Durschnittliche Variable Kosten = AVC

2 .)

ich schreibe dir jetzt mal meine Klausuraufgabe hin. Vielleicht kannst du mir damit das Problem der Konsumentenrente erklären! komme beim besten willen nicht darauf wie man aus einer Nutzenfunktion auch noch die Angebotsfunktion errechnet?

" Die Präferenzen von Konsument A können durch die Nutzenfunktion

u (x_{1}, x_{2}) = \sqrt{x_{1}} + x_{2}

abgebildet werden. Die Preise der beiden Konsumierten Güter sind

p_{1}

und

p_{2}

. A´s Einkommen ist

Y = 100

"

a)Bestimmen Sie A´s Konsumentenrente aus Gut1 bei den Preisen

p_{1} = \frac{1}{4}

und

p_{2} = 1

b)

Jetzt fällt der Preis von Gut 1 auf

p_{1} \frac{1}{8}

. umwieviel erhöht sich die KR verglichen mit der Situation aus

a) .

?

danke im voraus!

Michael79 aktiv_icon

08:23 Uhr, 19.08.2009

Hallo Sebastian,

1 .)

〉

Ja. Mea culpa. Natürlich ist's dann

a^{\frac{2}{3}}

. Also eben

a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} . .

. Entschuldige.

DVK = Durschnittliche Variable Kosten = AVC

〉

Ahh. Dann schneiden sich DK und DVK nicht. Es müsste ja gelten:
DK = DVK

+

Fixkosten / Menge
Damit gilt für

lim

Menge gegen unendlich nur DK = DVK, aber schneiden werden die sich nicht.
Sind die langfristigen Durchschnittskosten dann auch DK und die kurzfristigen DVK?

2 .)

u (x 1, x 2) = x 1 + x 2

abgebildet werden. Die Preise der beiden Konsumierten Güter sind

p 1

und

p 2

. A´s Einkommen ist

Y = 100

"

a)Bestimmen Sie A´s Konsumentenrente aus Gut1 bei den Preisen

p 1 = 14

und

p 2 = 1

〉

OK. Ich hatte oben gedacht, Du wolltest die Konsumentenrente für die ganze Gesellschaft bestimmen. Für ein Individuum ist das natürlich auch ohne Angebot und Markt-GG etc. möglich. (Genau genommen hast Du ja das GG durch die Preise vorgegeben.)
Also:
Erstmal Nachfragefunktionen ermitteln:

max u = \sqrt{x 1} + x 2

s . t

Y = x 1 \cdot p 1 + x 2 \cdot p 2 \Leftrightarrow x 2 = \frac{Y - x 1 \cdot p 1}{p 2}

max u = \sqrt{x 1} + \frac{Y - x 1 \cdot p 1}{p 2}

u' = \frac{1}{2 \sqrt{x 1}} - \frac{p 1}{p 2} = 0

\frac{1}{2 \sqrt{x 1}} = \frac{p 1}{p 2}

\frac{1}{2} = \sqrt{x 1} \cdot \frac{p 1}{p 2}

x 1 = {(\frac{p 2}{2 \cdot p 1})}^{2}

Mit

p 2 = 1 :

x 1 = \frac{1}{{(2 \cdot p 1)}^{2}} \Leftrightarrow p 1 = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x 1}}

Mit

p 1 = \frac{1}{4} :

x 1 = 4

Die Konsumentenrente ist die Fläche unter der Nachfragekurve

p 1 (x 1)

bis zum GG abzüglich dessen, was der HH tatsächlich zahlt:
KR

= \int_{0}^{4} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x 1}} d x 1 - p 1 \cdot x 1

= \sqrt{4} - \sqrt{0} - \frac{1}{4} \cdot 4 = 1

b)

Jetzt fällt der Preis von Gut 1 auf

p 118

. umwieviel erhöht sich die KR verglichen mit der Situation aus

a) .

?

Mit

p 1 = \frac{1}{8} :

x 1 = 16

Die Konsumentenrente ist die Fläche unter der Nachfragekurve

p 1 (x 1)

bis zum GG abzüglich dessen, was der HH tatsächlich zahlt:
KR

= \int_{0}^{16} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x 1}} d x 1 - p 1 \cdot x 1

= \sqrt{16} - \sqrt{0} - \frac{1}{8} \cdot 16 = 2

Die KR erhöht sich also um 1.

Ich hoffe, das hilft Dir und ich hab' mich nicht schon wieder verrechnet.

Viele Grüße
Michael

Strache aktiv_icon

15:18 Uhr, 19.08.2009

Michael,

ich verzweifle hier!

deine antworten habe ich so alle verstanden! danke!

ich habe leider ein problem damit die zuammenhänge zusehen zwischen
Nutzenfunktion - Nachfragefunktion - Angebotsfunktion - Kostenfunktion - Produktionsfunktion zusehen.

Kann ich aus einer gegebenen Kostenfunktion ein Marktgleichgewicht errechnen? nein, oder? ;-)
oder geht das wenn mehr als eine firma im markt sind?

ich stehe glaub ich irgendwie auf dem schlauch! sorry.

2 .)

zurück zu den skalenerträgen.
wenn es eine cd funktion ist reicht es doch einfach die Hochzahlen zu multiplizieren und zu gucken ob größer /kleiner 1 ?!

wie ist es denn bei funktionien die nicht cobbdouglas sind.

z . b u (x 1, x 2) =

wurzel

(x 1) +

2*x2² ?
oder wie brechne ich sie bei

u (x_{1}, x_{2}) = min [x_{1}, x_{2}]

danke nochmal!

grüße

p . s

studierst du auch vwl oder nur Mathe?

Michael79 aktiv_icon

16:31 Uhr, 19.08.2009

Hallo Sebastian,

kein Grund zur Panik

: o)

So kompliziert ist das alles gar nicht.

ich habe leider ein problem damit die zuammenhänge zusehen zwischen

Nutzenfunktion - Nachfragefunktion - Angebotsfunktion - Kostenfunktion - Produktionsfunktion zusehen.

Also: Auf einem Markt (für ein Konsumgut) treffen Angebot und Nachfrage aufeinander. Um das Gleichgewicht festzustellen, muss man also wissen, wie sich die Nachfrager verhalten und wie sich die Anbieter verhalten. Beides ist abhängig von der Marktform, aber ich beschränke mich jetzt erstmal auf den Standard: Polypol! Das heißt jeder Nachfrager und jeder Anbieter ist relativ zur gesamten Nachfrage / zum gesamten Angebot so klein, dass eine Änderung der nachgefragten / angebotenen Menge nicht zu einer Preisänderung führt. Unseren Wirtschaftssubjekte bleibt also keine Wahl als die Marktpreise als gegeben hinzunehmen (daher: "Preisnehmer").
Gucken wir uns zunächst die Nachfrage,

d

h

. die Konsumenten (Haushalte) an. Jeder Haushalt hat eine Nutzenfunktion, die angibt, wie hoch der Nutzen eines Haushalts aus dem Konsum eines bestimmten Güterbündels ist. Daneben kann der Haushalt nicht mehr ausgeben als er an Einkommen hat und versucht seinen Nutzen zu maximieren.
Formal löst er das Maximierungsproblem:
Max! Nutzenfunktion

u

d

. N. dass Einnahmen = Ausgaben (Budgetbeschränkung)

Die Lösung dieses Problems ergibt für gegebene Preise und Einkommen einen optimalen Konsumplan. Der Haushalt weiß dann also

z

B .,

dass es bei gegebenen Preisen und dem Einkommen, dass er eben hat am besten

17,3 x 1

konsumieren sollte - und das natürlich für jedes Gut. Aber weil es für jedes Gut einen eigenen Markt gibt, können wir uns jetzt auf

x 1

konzentrieren.
Die Nachfragefunktion (nach

x 1)

erhält man, wenn man das Maximierungsproblem nacheinander für unterschiedliche Preise

p 1

löst. Denn man will ja das optimale

x 1

als Funktion von

p 1

haben. Die erhält man natürlich genauso gut, indem man nur einmal maximiert, aber den Preis

p 1

nicht einsetzt, sondern als Parameter stehen läßt.

Genauso müssen wir jetzt versuchen, das Angebot zu bestimmen. Die Unternehmen maximieren ihren Gewinn (Umsatz - Kosten)

G = x \cdot p - C (x) :

G' = p - C' = 0 \Leftrightarrow p = C'

Also Preis = Grenzkosten. Sie wählen also die AngebotsMENGE so, dass die Grenzkosten gerade dem Preis entsprechen. Aus

p = C'

kann man daher auch eine Funktion

x (p)

ableiten: Die Angebotsfunktion.

Wenn wir Angebot und Nachfrage kennen, muss nur noch der Schnittpunkt bestimmt werden und fertig ist das Markt-GG

: o)

Kann ich aus einer gegebenen Kostenfunktion ein Marktgleichgewicht errechnen? nein, oder? ;-)

\Rightarrow

Nein. Man braucht für ein GG immer Angebot und Nachfrage.

oder geht das wenn mehr als eine firma im markt sind?

\Rightarrow

Nein. Ohne die Nachfrage geht's nie. Trotzdem nehme ich das mal zum Anlass, mich über Marktformen auszulassen: Oben bin ich vom Polypol ausgegangen (=viele, kleine Anbieter). Der Gegensatz ist das Monopol

(=

nur ein Anbieter). Dieser eine Anbieter kann natürlich durch seine angebotene Menge die insgesamt angebotene Menge und damit den Preis beeinflussen. Das ändert nun aber sein Verhalten. Er maximiert:

G = x \cdot p (x) - C,

wobei

p (x)

die Umkehrfunktion der Nachfragefunktion ist ("inverse Nachfrage").
Also:

G' = p (x) + x \cdot p' - C' = 0

oder Grenzumsatz = Grenzkosten...

Problematisch wird's in den Marktformen dazwischen: Also mehr als ein Anbieter und weniger als "unendlich" viele (Oligopol)... Dazu gibt's unzählige Varianten und mindestens doppelt so viele Modelle, die ich uns beiden jetzt ersparen möchte und größtenteils muss, weil ich sie auch nicht kenne ;-)

2 .)

zurück zu den skalenerträgen.

wenn es eine cd funktion ist reicht es doch einfach die Hochzahlen zu multiplizieren und zu gucken ob größer /kleiner 1 ?!
ADDIEREN, aber ansonsten: Ja.

wie ist es denn bei funktionien die nicht cobbdouglas sind.

z

.bu(x1,x2)= wurzel

(x 1) +

2*x2² ?
Ist das eine Nutzenfunktion? Da würde ich mich ja in der Regel weigern Skalenerträge auszurechnen... Aber man kann es natürlich machen, obwohl ich den Sinn dahinter nicht verstehe. Wieso ist es wichtig, ob mein Nutzen überproportional steigt, wenn ich von allem doppelt so viel esse? Beim Angebot ist das 'was anderes: Da werden die Skalenerträge verwendet, um zu sehen, ob die Zahl der Firmen (und damit bei gegebenen Mengen eben auch ihre Größe) im Markt ein langfristiges GG ist oder ob welche aussteigen oder neue dazu kommen... Aber bei Konsumenten? Ich glaube, die Zahl der Konsumenten und ihre "Größe" ist dann doch meistens eher exogen...
Trotzdem ein Versuch:
Bei der gegebenen Funktion sind die Skalenerträge nicht konstant, sondern hängen von

x 1

und

x 2

ab. Wenn

x 1

relativ zu

x 2

niedrig ist, gibt es steigende Skalenerträge und wenn es umgekehrt ist fallende. Deshalb bekommst Du hier nie eine Zahl 'raus, sondern immer eine Funktion von

x 1

und

x 2 . .

.
Wie das geht, weiß ich auch nicht, aber ich hab' einen Vorschlag: Definieren wir die Funktion

v (k) = u (k \cdot x 1^{0}; k \cdot x 2^{0})

=wurzel (kx1)+ 2*(kx2)^2
Dabei sind

x 1^{0}

und

x 2^{0}

gegebene Werte der Inputs, so dass man jetzt einfach

k

variieren kann, um zu sehen, wie sich der Output ändert:
dv/dk

= \frac{x 1^{0}}{\sqrt{k \cdot x 1^{0}}} + 4 \cdot {(x 2^{0})}^{2} \cdot k

Wenn das größer 1 ist, hast Du steigende Skalenerträge usw...

Alternative: Die Skalenelastizität ist die Summe der Produktionselastizitäten (bitte frag' jetzt nicht, warum...) Also: Wenn (du)/(dx1)

\cdot \frac{x 1}{u} +

(du)/(dx2)

\cdot \frac{x 2}{u} > 1,

hast Du auch gute Karten...

oder wie brechne ich sie bei

u (x 1, x 2) = min [x 1, x 2]

Naja. Hier geht das im Zweifel genauso, aber durch scharfes Hinsehen erkennt man, dass die Skalenelastizität 1 sein muss. Oder meinst Du, wie man es überhaupt berechnet? Da gilt:

u = x 1,

wenn

x 1 < x 2

und ansonsten

u = x 2

.

Viele Grüße
Michael

PS: Ich bin als VWL-Student übrigens auch ein Alien hier...

Strache aktiv_icon

18:22 Uhr, 19.08.2009

Hi,

ich schick dir mal eine weiter Klausuraufgabe damit das einfacher ist zuerklären:

2 Textaufgaben

2.1

Der Markt für Zement in Elbonien hat folgende Nachfragefunktion

D (p) =

140

wenn

p < 23

140 -

2*WURZEL(p-23) wenn

p \geq 23

Auf dem Markt operieren

10

Firmen, die in der kurzen Frist alle dieselbe folgende
durchschnittliche Kostenfunktion haben:
AC(q)

= 1 \div 3 (q -

3)²

+ 24

wobei

q

die von der Firma produzierte Menge ist.

2.1.1 (N)

Bestimmen Sie die Grenzkosten der Firmen (für die einzelne Firma) für

q = 2

und geben Sie sie auf ganze Zahlen gerundet an.

2.1.2 (N)

Bestimmen Sie das (kurzfristige) Marktangebot für

p = 23 : 81

und geben
Sie den Wert auf ganze Zahlen gerundet an.

2.1.3 (N)

Bestimmen Sie die im (kurzfristigen) Marktgleichgewicht insgesamt pro-
duzierte Menge und geben Sie sie auf ganze Zahlen gerundet an.

2.1.4 (N)

Bestimmen Sie den Gewinn der einzelnen Unternehmung im (kurzfristigen)
Marktgleichgewicht und geben Sie den Wert auf ganze Zahlen gerundet an.

2.1.5 (N)

Eine große Anzahl von Firmen mit derselben Kostenstruktur wie oben
beschrieben kann in Elbonien ebenfalls Zement anbieten. Nehmen Sie an, dass auf
lange Frist so viele Firmen in den Markt eintreten, bis der Gewinn im langfristigen
Marktgleichgewicht auf 0 geschrumpft ist. Wie viele Firmen sind dies? Geben Sie
den Wert auf ganze Zahlen gerundet an.

deine einschätzung: schwierigkeitsgrad?

danke nochmals! hoffe es ist nicht allzu schlimm! eigentlich bin ich auch gar nicht so schlecht ;-)

grüße

Michael79 aktiv_icon

07:23 Uhr, 21.08.2009

Hallo,

leider hat's ein bißchen gedauert, aber ganz so einfach fand ich die Aufgabe dann auch nicht

: (

Trotzdem hier mein Lösungsvorschlag

2.1

Der Markt für Zement in Elbonien hat folgende Nachfragefunktion

D (p) = 140

wenn

p < 23

140 -

2*WURZEL(p-23) wenn

p = 23

Auf dem Markt operieren

10

Firmen, die in der kurzen Frist alle dieselbe folgende
durchschnittliche Kostenfunktion haben:
AC(q) =1÷3(q- 3)²

+ 24

wobei

q

die von der Firma produzierte Menge ist.

2.1.1 (N)

Bestimmen Sie die Grenzkosten der Firmen (für die einzelne Firma) für

q = 2

und geben Sie sie auf ganze Zahlen gerundet an.

Also: Grenzkosten

= 1

. Ableitung der Kostenfunktion:
C=AC

\cdot q

C' =

AC'

\cdot q +

= \frac{2}{3} (q - 3) \cdot q + \frac{1}{3} \cdot {(q - 3)}^{2} + 24

Mit

q = 2 : C' = - \frac{4}{3} + \frac{1}{3} + 24 = 23

2.1.2 (N)

Bestimmen Sie das (kurzfristige) Marktangebot für

p = 23 : 81

und geben
Sie den Wert auf ganze Zahlen gerundet an.

Ist

p = 23,81

?
Also sicher bin ich mir nicht, aber ich würde so etwas schreiben wie:
Jedes Unternehmen kann die Produktion so lange ausdehnen, wie der Preis über den Grenzkosten liegt, daher

p = C' \Leftrightarrow \frac{2}{3} (q - 3) \cdot q + \frac{1}{3} \cdot {(q - 3)}^{2} + 24 = 23,81

\frac{2}{3} \cdot q^{2} - 2 q + \frac{1}{3} \cdot (q^{2} - 6 q + 9) + 0,19 = 0

q^{2} - 4 q + 3,19 = 0

q = 2 \pm \sqrt{4 - 3,19}

q 1 = 2,9 q 2 = 1,1

Wenn das alle

10

Unternehmen machen, ist

q

insgesamt also

29

oder

11 .

2.1.3 (N)

Bestimmen Sie die im (kurzfristigen) Marktgleichgewicht insgesamt pro-
duzierte Menge und geben Sie sie auf ganze Zahlen gerundet an.

Die Grenzkosten haben bei

23

und

q = 2

ihr Minimum,
die AC haben ihr Minimum bei

24

und

q = 3, d

h

. einen Preis

< 23

kann es nicht geben. Daher wird sich ein Preis

> 23

einstellen.
Da alle Firmen identisch sind, werden alle

\frac{1}{10}

der Gesamtnachfrage bedienen.
Mit Preis

= C'

kann man dann schreiben:

p = C' (\frac{D (p)}{10})

Das habe ich mit Maxima gelöst und es ergibt sich

p = 123

Und daher insgesamt die Menge

130

2.1.4 (N)

Bestimmen Sie den Gewinn der einzelnen Unternehmung im (kurzfristigen)
Marktgleichgewicht und geben Sie den Wert auf ganze Zahlen gerundet an.

Da alle Unternehmen identisch sind, produziert jeder

13 .

Die Kosten sind ja

C =

q*AC

= (\frac{1}{3} {(q - 3)}^{2} + 24) \cdot q = \frac{2236}{3}

Der Umsatz ist:

p \cdot q = 13 \cdot 123 = 1599

Daher Gewinn:

1599 - \frac{2236}{3} = \frac{2561}{3} = 854

2.1.5 (N)

p = C'

anbieten werden und außerdem der Gewinn nur bei

C' =

AC 0 sein kann, brauchen wir erstmal den Schnittpunkt von

C'

und AC:

\frac{2}{3} (q - 3) \cdot q + \frac{1}{3} \cdot {(q - 3)}^{2} + 24 = \frac{1}{3} \cdot {(q - 3)}^{2} + 24

q = 3

Der Preis ist dann

p =

= C' = 24

Bei einem Preis von

24

ist die Nachfrage:

138

Das heißt es muss:

\frac{138}{3}

Firmen

= 46

Firmen geben...

deine einschätzung: schwierigkeitsgrad?
Naja, an

2.1.3

habe ich ganz schön lange geknobelt, bis ich's aufgegeben hab' und eben Maxima die Rechenarbeit überlassen hab'... Ob das jetzt schwierig ist oder nicht, kann ich aber beim besten Willen nicht sagen. Das hängt ja auch davon ab, was Ihr in der Vorlesung so gelernt habt und vor allem auch davon, was das überhaupt für eine Vorlesung ist...

Viele Grüße
Michael

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