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Minimaler Abstand zweier windschiefer Geraden

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: minimaler Abstand, Vektorrechnung, windschiefe Geraden

vanylicious aktiv_icon

11:54 Uhr, 13.03.2011

Hallo zusammen,

bräuchte vielleicht eure Hilfe.

Aufgabe lautet:

Ermitteln Sie den minimalen Abstand, den die Flugzeuge

F_{1}

und

F_{2}

in den ersten

15

Minuten nach Start des Flugzeugs

F_{1}

voneinander haben.

Flugzeuge bewegen sich entlang dieser beiden Geraden:

F_{1} : g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 3 \\ - 11 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2,2 \\ 4 \\ 0,6 \end{matrix}), 0 \leq t \leq 15

F_{2} : h : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 15 \\ 4 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

t + s =

Minuten, die nach dem Start von

F_{1}

vergangen sind

Wäre lieb, wenn mir jemand einen Tipp geben würde.
Liebe Grüße

Matheboss aktiv_icon

12:05 Uhr, 13.03.2011

Bau Dir eine Hilfsebene, in der

g

liegt und die parallel zu

h

ist (also den Richtungsvektor von

h

hat).
Forme sie in die Koordinatenform (Normalenform) um. Da

h

jetzt ja Parallel zur Hilfsebene ist, hat jeder Punkt von

h

den gleichen Abstand zur Hlfsebene, also auch der Aufpunkt von

h

.
Hessenormalform und damit Abstand berechnen.

vanylicious aktiv_icon

12:07 Uhr, 13.03.2011

Ja das verstehe ich sehr gut. Das ist ja die normale Abstandsberechnung.
Ist es auch gleichzeitig der minimale Abstand?

Vielen Dank

=)

Matheboss aktiv_icon

12:10 Uhr, 13.03.2011

Der Abstand ist das Lot, also die kürzeste Verbindung, also der "minimalste" Abstand.
Ich habe auf die Zeit nicht geachtet, ich habe nur die Geraden gesehen. Ich schaue sie mir jetzt nochmal genauer an.

vanylicious aktiv_icon

12:21 Uhr, 13.03.2011

Okay, danke ;-)

Aber bei den Zeiten muss ich auch nichts beachten oder?

LG

Matheboss aktiv_icon

12:26 Uhr, 13.03.2011

Hier ist nicht der kürzeste Abstand zwischen 2 windschiefen Geraden nicht umbedingt der minimalste Abstand der Flugzeuge, da diese ja nicht umbedingt zur gleichen Zeit diese Punkte erreichen.

vanylicious aktiv_icon

12:43 Uhr, 13.03.2011

Okay ja das hab ich mir schon gedacht. Aber wie mache ich das jetzt?

maxsymca

13:08 Uhr, 13.03.2011

Im Prinzip berechnest Du den Abstand

f (t)

von zwei Punkten auf den Geraden. Bildest die Ableitung und suchst das Minimum....
Ist das der Originaltext? So bleiben einige Fragen....
Wo ist der Zeitpunkt Null? Annahme: der jeweilige Ortsvektor also

A : g (0)

und

B : h (0)

?
Wie ist die Geschwindigkeit? Annahme:

g (t)

und

h (t)

mit

t

in Minuten?

Dann
streckeLaenge(g(t),h(t));

f (t) = \sqrt{{(- 3 - 1.8 \cdot t)}^{2} + {(- 4 + 0.6 \cdot t)}^{2} + {(- 4 + 7 \cdot t)}^{2}}

weiter
Ableiten, Null setzen, lösen, überprüfen

min max

t_{d} = \frac{125}{263}

d . h

C : g (t_{d}) = [- 1.954372623574144, \frac{3393}{263},0 . 2851711026616]

D : h (t_{d}) = [\frac{500}{263}, \frac{3570}{263}, 4]

Und das ganze im Bild...

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