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Mischungsrechnung, Mischungsverhältnisse

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Tags: Konzentration, Mischungsrechnung, Mischungsverhältnisse

 
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Matheniete96

Matheniete96 aktiv_icon

22:20 Uhr, 27.04.2017

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Frage zu folgender Aufgabenstellung:

Mit wie vielen Millilitern 2%igem Alkohol müssten 100 Milliliter 40%iger Alkohol vermischt werden, damit das Gemisch eine Konzentration von 10% hat?


Meine Lösungsansätze:

Lösungsansatz I. :40%100+2%X=10%X+100
(→ die Zahlen im Nenner sind jeweils immer Milliliterangaben... 100ml, Xml...)

ich bin jedoch dann zur Erkenntnis gekommen das das ganze Bruchrechnen falsch ist..:

Lösungsansatz II. :

100ml ⋅40%+ Xml ⋅2%= (Xml + 100ml) ⋅10%

→ multipliziert man hier die Klammer aus, und löst dann die Gleichung nach X auf, so erhält man mit 375ml die richtige Lösung.

Nur eine Frage: wie man erkennen kann, habe ich im Lösungsansatz II. vom Aufbau her die gleiche Gleichung angewandt wie in Lösungsansatz I., nur eben mit dem Unterschied, dass ich multipliziert habe, statt zu dividieren... ich frag mich nur, warum das mal rechnen richtig ist... wie ich die Gleichung in etwa aufstellen muss schein ich ja zu wissen, nur das Anwenden der Operatoren... also es kommt das richtige Ergebnis raus, aber warum? .. ich will die Logik verstehen, damit ich Aufgabenstellungen lösen kann, die ähnlich sind.

Ich bedanke mich im voraus :-D) .. sorry das ich so zutexte hahaha

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

22:36 Uhr, 27.04.2017

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Hallo
Mein Tipp heisst:
Die richtige Mischung aus Wort und Zahlen/Formeln schafft Verständlichkeit.
Also nicht nur irgendwelche Zahlen in irgendwelche erfundenen Formeln einsetzen, sondern auch ein paar Worte, die dir und potenziellen Lesern klar machen, was diese Zahlen und Gleichungen bedeuten.

a)
Du hast 100 ml 40%-igen Alkohol.
Wie viel (reiner) Alkohol ist das denn?
b)
Wie viel Wasser ist das denn?
c)
Du hast eine unbekannte Menge 2%-igen Alkohol.
Du hast diese Menge löblicherweise "x" getauft.
Das finde ich gut.
Wie viel (reiner) Alkohol ist denn in dieser Menge?
d)
Wie viel Wasser ist denn in dieser Menge?

e)
Jetzt kippst du die beiden Mischungen zusammen.
Wie viel Alkohol ist dann in der Mischung?
f)
Wie viel Wasser ist dann in der Mischung?
g)
Wie viel Gesamtmenge hat dann diese Mischung?
h)
Wie soll das Verhältnis aus Alkohol zu Gesamtmenge schlussendlich lauten?

Du wirst sehen, wenn du systematisch arbeitest, und immer einen sinnvollen Satz mit einer sinnvollen Gleichung paarst, dann wirst du schnell und verlässlich zum Ziel kommen.
Matheniete96

Matheniete96 aktiv_icon

23:43 Uhr, 27.04.2017

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Hey kreadoor,
also ich hab natürlich versucht mir das ganze Bildlich vorzustellen, sonst wär ich garnicht so weit gekommen :-D) .. hätte das vllt auch nochmal wörtlich aufschreiben sollen.... bildlich gesehen ist rechts vom Gleichheitszeichen der Moment, indem die Flüssigkeiten gemischt sind und links vom Gleichheitszeichen jeweils die "Ursprungsflüssigkeiten" und die Unbekannte Xml ... nur eben gerade die letzte Erkenntnis, die du so schön in punkt h.) formuliert hast:

" h.) Wie soll das VERHÄLTNIS aus Alkohol zu Gesamtmenge schlussendlich lauten?"

hat mich stutzig gemacht.. also... klar, diese Frage verkörpert wieder das was rechts vom Gleichheitszeichen steht... aber da es hier dann um 'Verhältnisse' geht, habe ich zu beginn in Brüchen gedacht und schrieb: - analog zur Frage h.):

...'linke Seite der Gleichung'... =10%X+100→ Im Zähler die 10% und im Nenner die Gesamtmenge der Flüssigkeit (Xml + 100ml) auf ... wobei ich jetzt, wenn ich drüber nachdenke, im Zähler ja den gesamten Alkohol berücksichtigen muss... ist doch klar hahaha.. also das kann ja nur falsch sein, da im Zähler definitv ich sag mal 'von der Definition her' definitiv mehr als 10% Alkohol stehen muss... schliesslich ist Xml eine Flüssigkeit mit 2% Alkohol

richtig ist aber ja gewesen:

...'linke Seite der Gleichung'...= (Xml + 100ml) ⋅10%


ich frag mich einfach nur warum ich multipliziere, auch wenn es schon so logisch klingt zu multiplizieren, ... oder soll ich die Grundsätze der Arithmetik wörtlich nehmen, und davon ausgehen, dass wenn man zwei Faktoren miteinander multipliziert, wortwörtlich ein neues 'Produkt' entsteht? xD ..
Matheniete96

Matheniete96 aktiv_icon

00:14 Uhr, 28.04.2017

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Moment mal... ich gewichte praktisch auf der linken Seite ja die 100 ml mit ihrer alkohol konzentration von 40%.. und addiere ja dazu die x milliliter, welche ich mit einer Alkohol Konzentration von 2% gewichte... auf der rechten Seite der Gleichung, muss ich bzw. kann ich ja nur die verschiedenen FLüssigkeiten mit 10% gewichten..schließlich muss eine Flüssigkeit bei raus kommen, die 10% Alkohol enthält.. deshalb multiplizier ich

ich hab halt vorher nur in Verhältnisse gedacht und hab dann halt nur Brüche bzw. eine art "Zähler-Nenner-Verhältnis" im Kopf gehabt...

die Rechnung :40%100+2%X=10%X+100

kann nur falsch sein, da die Gleichung nicht dem entspricht wie ich mische... ich habe ja nicht irgend eine Flüssigkeit (Xml+100ml) in der sich jetzt einfach so 10% Alkohol befinden (10%)/(X+100)...viel mehr habe ich zwei Flüssigkeiten,undzwar in ganz bestimmten Mischmengen, und genau diese Mischung führt dazu, das die Gesamtflüssigkeit 10% Alkohol enthält:

100ml ⋅40%+ Xml ⋅2% =(Xml + 100ml) ⋅10%
Antwort
anonymous

anonymous

09:27 Uhr, 28.04.2017

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Hallo nochmals.
Wie gesagt, ich meine: Die richtige Mischung aus Wort und Zahlen/Formeln schafft Verständlichkeit.

Deine letzten beiden Beiträge waren wieder sehr sehr wortgewaltig. Ich muss zugeben, ich habe sie nur überflogen. Wirklich Rückfragen habe ich nicht unmittelbar erkannt.

Mein Tipp für die Bearbeitung derartiger Aufgaben für die Zukunft ist nach wie vor:
Mach Dir (und ggf. dem Leser) in WENIGEN Worten und kleinen Schritten klar, was du da machst. Dann fällt dir die dahinter liegende Logik in den Schoß.

Am Beispiel dieser Aufgabe:
a)
Die 100 ml des 40%-igen Alkohols enthalten 40ml Alkohol.
b)
Die 100 ml des 40%-igen Alkohols enthalten 60ml Wasser.
c)
Ich nenne die (unbekannte) Menge 2%-igen Alkohols "x" .
Diese enthält 0.02⋅x reinen Alkohol.
d)
Diese enthält 0.98⋅x reines Wasser.
e)
Wenn ich die beiden mische, dann habe ich
40 ml +0.02⋅x
reinen Alkohol
f)
und
60 ml +0.98⋅x
reines Wasser
g)
Die Mischung hat das Gesamtvolumen
V_ges = V_Alkohol + V_Wasser =40 ml +0.02⋅x+60 ml +0.98⋅x
V_ges =(40 ml +60 ml) +0.02⋅x+0.98⋅x
V_ges =100 ml +x
Ja klar, Kontrolle gibt Sicherheit, das sind doch die beiden Anteile Ausgangsmengen.

h)
Die Endmischung soll einen Alkoholgehalt von 10% haben. Folglich:
V_Alkohol / V_ges =10%=(40 ml + 0.02*x)/(100ml +x)

Super, jeder Einzelschritt war übersichtlich, vertrauenweckend, systematisch, einfach. Und wir haben eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten erhalten, die du leicht nach der gefragten Größe x auflösen kannst.
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