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Mit oder ohne Berücksichtigung der Anordnung?

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Binomialkoeffizient, Wahrscheinlichkeitsmaß

DerWiWiStudent aktiv_icon

23:11 Uhr, 27.01.2014

Hallo,

also ich habe gerade zwei Probleme mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Kombinatorik.

Ich fange erstmal mit einem allgemeinen Problem an:
In der Kombinatorik gibt es ja die 4 Grundformeln, die man je nach situativem Kontext der Aufgabe anwenden muss. Dabei wird die Entscheidung, welche man nun nimmt ja an den Fragen festgemacht, ob jeweils mit oder ohne Wiederholung gerechnet wird und ob die Reihenfolge berücksichtigt werden muss oder nicht.
Und gerade diese letzte Frage ist für mich oft sehr schwer zu beantworten. Vor allem deshalb, weil ich nicht weiß, woran man diese Entscheidung festmacht.

Daher ist meine erste Frage: Wie kann man das sicher feststellen, ob mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge experimentiert wird? Gibt es einen Aspekt, den man immer überprüfen kann und dann eine allgemeingültige Antwort auf diese Frage liefert?

Die zweite Frage ist im Grunde ein Anwendungsfall dazu.
Ich möchte hier mal den Aufgabentext abtippen:
"Ein Tetraeder, dessen Flächen mit

1, 2, 3

und 4 bezeichnet sind, wird sechsmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Tetraeder mindestens einmal auf die Fläche mit der 3 fällt?"

Mein Ansatz hier: Ich möchte zuerst alle möglichen Ereignisse berechnen. Dazu habe ich mir überlegt, dass man mit Wiederholung rechnen muss, da eine Zahl ja mehrmals geworfen werden kann.
Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob mit oder ohne Reihenfolge? Ich denke, dass die Reihenfolge hier keine Rolle spielt, denn es ist ja nicht gefragt beim wievielten Wurf eine 3 kommen kann, sondern einfach nur wie wahrscheinlich es ist. Ob die Reihenfolge der geworfenen Zahlen

1,2,3,4

oder

3,3,1,2

oder

4,1,2,2

oder sonst wie lautet, ist ja egal, oder?
Habe dann die Formel

n + k - 1

über

k

angewandt mit

n = 6

und

k = 4

und

126

mögliche Ereignisse erhalten.

Könnt ihr das soweit bestätigen, bzw. was mir viel wichtiger ist, meine allgmeine Frage beantworten?

Das wäre echt sehr hilfreich. Besten Dank schonmal.

VG,

DerWiWiStudent

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Ma-Ma aktiv_icon

23:40 Uhr, 27.01.2014

Hallo WiWi,
zuerst wollen mal festhalten, dass diese Frage ins Schülerforum gehört. Schwierigkeitsgrad Klasse

10

bis Klasse

11

.

Rechne mit der Gegenwahrscheinlichkeit.
Außerdem solltest Du wissen, wann man die Bernoulliformel anwenden kann.

Sagt Dir Bernoulli was ?

DerWiWiStudent aktiv_icon

23:45 Uhr, 27.01.2014

Hi,

da wir das derzeit im Statistik-Grundzüge Modul an der Uni machen, habe ich es ins Uni-Forum gepostet.

Bernoulli-Formel sagt mir nichts. Die Mittel, die mir aus dem Kurs zur Verfügung stehen sind begrenzt auf die 4 genannten Grundformeln der Kombinatorik und die gängigen Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung, bis zum Bayes´schen Theorem, das war´s leider :-D)

Ma-Ma aktiv_icon

23:48 Uhr, 27.01.2014

DA bin ich aber überrascht. Bernoulli gehört zum Grundlagenwissen Abiturstoff.
Hast Du kein Abitur ?

DerWiWiStudent aktiv_icon

23:52 Uhr, 27.01.2014

Abitur habe ich letztes Jahr gemacht. Zur Erläuterung: Unser Jahrgang stand nach dem damals gültigen Lehrplan vor der Wahl zwischen den beiden Themen Stochastik und Vektoren-/Matrizen, also linearer Algebra.

Wie man sieht, haben wir uns damals für letzteres entschieden, was ich gerade bereue ;-)

Wenn ich ehrlich bin, geht es mir auch hauptsächlich um die erste Frage. Die Lösung zur Aufgabe kann ich mir zur Not im Tutorium abschreiben. Aber das mit der Anordnung bräuchte ich wirklich mal in leicht verdaulicher Form sozusagen erklärt.
In einem anderen Aufgabensatz habe ich da zu

90 %

sogar richtig gelegen, aber hier fällt mir das

z . B

. echt schwer.

Ma-Ma aktiv_icon

23:56 Uhr, 27.01.2014

Okay, Bernoulli unbekannt.

Evtl. hilft für´s Erste alternativ auch ein Baumdiagramm (Klasse

10)

.
Das wirst Du doch sicher noch können.

p_{3} =

Wahrscheinlichkeit, dass eine 3 gewürfelt wird ?

p_{A} =

Wahrscheinlichkeit, dass KEINE 3 gewürfelt wird ?

DerWiWiStudent aktiv_icon

23:59 Uhr, 27.01.2014

P (3)

wäre logischerweise bei 4 Alternativen

0,25

P (A)

demzufolge

0,75

.

Das ist dann bezogen auf einen Wurf.

Ma-Ma aktiv_icon

00:00 Uhr, 28.01.2014

Deine allgemeine Frage:
Ob mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge hängt von der AUFGABENSTELLUNG ab.

DerWiWiStudent aktiv_icon

00:02 Uhr, 28.01.2014

Das ist ja gerade das Problem an der Sache. So richtig gibt es ja wohl keine Merkregel. Unsere Dozenten sagen auch immer, dass man dafür ein Gefühl entwickelt. Allerdings muss ich es dafür ja erst mal ein paar mal richtig gemacht haben :-)

Sind meine Ausführungen bzgl. der Aufgabe denn soweit akzeptabel?

Ma-Ma aktiv_icon

00:03 Uhr, 28.01.2014

Richtig.

p_{3} = \frac{1}{4}

p_{A} = \frac{3}{4}

Jetzt das Baumdiagramm (oder im Kopf).

6 mal Würfeln. Niemals soll die 3 kommen. Anders gesagt, 6 mal soll

p_{A}

eintreten.

Wie groß ist

p

für dieses Ereignis ?

DerWiWiStudent aktiv_icon

00:10 Uhr, 28.01.2014

Ich würde dann jetzt

{(\frac{3}{4})}^{6}

rechnen. Da kommt dann etwa

0,178

raus.

Das wäre also die Wahrscheinlichkeit, dass genau das Gegenteil von dem eintritt, was ich suche. Also müsste das interessierende Ereignis zu etwa

82,2 %

eintreten, oder?

Ma-Ma aktiv_icon

00:15 Uhr, 28.01.2014

Korrekt.
Die Wahrscheinlichkeit, das KEINE 3 gewürfelt wird ist

0,178

entspricht

17,8 %

.

Die Gegenwahrscheinlichkeit, das die 3 einmal, zweimal,

. .,

sechsmal gewürfelt wird ist:

p = 1 - p_{3}

(Im Endeffekt müssen alle Einzelwahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade im Baumdiagramm ja 1 ergeben. )

DerWiWiStudent aktiv_icon

00:22 Uhr, 28.01.2014

Ich könnte mich eigentlich gerade selber in den

A ... . h

beißen, da hätte ich echt selbst drauf kommen können (oder müssen).
Baumdiagramme und das Ganze hatten wir vor langer Zeit mal etwas ausführlicher in der Schule. Da war ans Abi noch kaum zu denken.

Aber dann habe ich in meinen anfänglichen Überlegungen ja doch einen Fehler, da ich hier ja eine Permutation

n^{k}

habe mit

{(\frac{3}{4})}^{6}

. Und die wird eben bei Experimenten mit Wiederholung und MIT Anordnung verwendet.

: (

Ich danke dir trotzdem. Manchmal muss einem einfach nur das Brett vor´m Kopf weggenommen werden :-D)

Ma-Ma aktiv_icon

00:23 Uhr, 28.01.2014

Die Anzahl der Möglichkeiten (wie oben angesprochen), kann man mit dem Binomialkoeffizienten ermitteln.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Magst Du die Rechnung nochmal mit Bernoulli durchspielen ?

DerWiWiStudent aktiv_icon

00:26 Uhr, 28.01.2014

Wenn Bernoulli vergleichsweise schnell und einfach ist, gerne. In der Klausur sind die Rechnungen nämlich egal, da werden keine Rechenwege vorgegeben, Hauptsache das Ergebnis stimmt. Wäre also durchaus anwendbar.

Da habe ich allerdings noch weniger Plan von, als von Baumdiagrammen.

Ma-Ma aktiv_icon

00:39 Uhr, 28.01.2014

Okay. Bernoulli ist sehr einfach.
Gilt: Wenn die Einzelwahrscheinlichkeiten immer gleich bleiben. Trifft idealerweise beim Würfeln auch zu.

Siehe auch im www

\to

Binomialverteilung Bernoulli

Gesucht

P,

dass keine 3 gewürfelt wird.

B (n; p; k) = P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

n = 6 . .

. Anzahl der Würfe

k = 0 . .

. Anzahl der Treffer

p = 0,25 . .

. Wahrscheinlichkeit für Treffer einer 3

P (X = 0) = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0,25}^{0} \cdot {(1 - 0,25)}^{6 - 0}

P (X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot {0,75}^{6} = 0,178

Wahrscheinlichkeit, dass NULL Treffer für die

3 . .

p = 0,178

- - - - - - - - - - - -

Erwartungswert, eine 3 zu Würfeln:

E = n \cdot p = 6 \cdot 0,25 = 1,5

Bei 6 mal Würfeln wird durchschnittlich

1,5

mal eine 3 gewürfelt.

- - - - - - - - - - -

Bernoulli erscheint Dir jetzt vielleicht etwas kompliziert, wirst Du später aber noch oft brauchen.

LG Ma-Ma

- - - - - - - - -

Ergänzung: Bernoulli: Reihenfolge egal, da mit dem Binomialkoeffizienten alle Reihenfolgen berücksichtigt werden !

DerWiWiStudent aktiv_icon

00:48 Uhr, 28.01.2014

Ja stimmt, sieht erstmal wild aus. Habe aber schnell gemerkt, dass das bei statistischen Formeln meistens so ist.

Nur kurz zur Klarstellung: Das Ergebnis ist zwangsläufig das Selbe wie weiter oben. Der Erwartungswert

E = 1,5

ist hier also als Zusatzinformation zu interpretieren, da er für die Lösung der Aufgabe ja nicht benötigt wird?

Wo kann man den Bernoulli denn später noch brauchen, außerhalb der Statistik-VL?
Könnte mir höchsten im Bereich VWL etwas darunter vorstellen oder evtl. Finanzierung

o

.ä. wo halt auch Statistiken und Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen.

Jedenfalls danke ich Dir nochmal herzlich für die ausführliche Hilfe ;-)

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Edit: Habe ich das richtig verstanden? Wenn es ein Experiment mit Wiederholung ist, ist die Reihenfolge egal, sofern ich mit dem Binomialkoeffizienten

n

über

k

rechne, sodass ich im Falle eines Experiments mit Wiederholung im Prinzip immer

n

über

k

rechnen kann und nie was damit falsch mache?

Ma-Ma aktiv_icon

00:58 Uhr, 28.01.2014

JA, das Ergebnis ist das Gleiche. Sollte ja auch so sein

. .

.
Erwartungswert war eine Zusatzinformation für Dich.
Da ich mich im Bereich WiWi nicht auskenne, weiß ich nicht, wo das noch alles auftauchen wird.
Sicher aber noch bei Euren Statistikvorlesungen.

Großer Vorteil bei Bernoulli, Du kannst auch berechnen, wenn 2 oder 3 oder mehr Treffer relevant sind.

z . B :

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens zwei mal die 3 gewürfelt wird.
Addieren die Wahrscheinlichkeiten

P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

Das Ganze kann man sogar direkt aus Tabellen ablesen, man braucht also GARNICHT zu rechnen

\to

summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten

Die Reihenfolge muss Dich auch nicht mehr interessieren, da bereits alles mit dem Binomialkoeffizienten abgedeckt ist.

LG Ma-Ma

Matlog aktiv_icon

01:02 Uhr, 28.01.2014

Noch eine Bemerkung zur allgemeinen Frage:

Ma-Ma hat Dir gesagt, dass das zu verwendende Modell von der Aufgabenstellung abhängig ist.
Richtig!
Es gibt aber durchaus auch Aufgaben, wo Du selbst entscheiden kannst, ob Du mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge rechnen willst.
Diese Entscheidung muss man dann aber auch in allen Belangen durchhalten.

Und genau so eine Aufgabe hast Du hier als Beispiel angegeben.
Du hast vollkommen richtig festgestellt, dass bei der zu berechnenden Wahrscheinlichkeit die Reihenfolge unwesentlich ist. Und auch vollkommen richtig: es gibt

126

verschiedene Möglichkeiten (ohne Beachtung der Reihenfolge).

Ganz wichtig:
Du sprachst von den vier Formeln, die die Anzahl der Möglichkeiten berechnen in den verschiedenen Modellen.
Dieser Fall - mit Wiederholung, Reihenfolge egal - ist KEIN Laplace-Modell. Die verschiedenen Möglichkeiten sind nicht alle gleich wahrscheinlich. Somit ist die Formel "Anzahl der günstigen durch Anzahl aller Möglichkeiten" nicht anwendbar zur Wahrscheinlichkeitsberechnung.
(Bei den anderen drei Modellen kann man das bedenkenlos tun.)

Und genau deshalb empfiehlt es sich hier mit Beachtung der Reihenfolge zu rechnen, obwohl es ja eigentlich nicht nötig wäre.

pleindespoir aktiv_icon

01:02 Uhr, 28.01.2014

meine Empfehlung:

http//www.mooc-list.com/course/einf%C3%BChrung-die-wahrscheinlichkeitsrechnung-iversity

viel Erfolg !

DerWiWiStudent aktiv_icon

01:09 Uhr, 28.01.2014

@Matlog

Dann habe ich ja doch nicht "nichts" kapiert. Was du bzgl. Laplace bzw. hier "Nicht-Laplace" erwähnst, war auch mein erster Stolperstein, denn würde man dort die Laplace-Regel anwenden, käme eine Wahrscheinlichkeit raus, die ich intuitiv als zu klein einschätze.

Deine Erklärung war auch sehr einleuchtend ;-)

Danke Dir.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

@pleindespoir

Werde ich mir mal ansehen. Danke auch dafür.

Ma-Ma aktiv_icon

01:10 Uhr, 28.01.2014

@WiWi: Es ist ungeschickt, nach meiner Antwort ein Edit mit weiteren Fragen anzuhängen.
Meine Antwort bezieht sich auf den Post, nicht auf Dein nachträglich angeführtes Edit.
Das könnte im Endeffekt falsche Aussagen ergeben !

Weitere Fragen bitte IMMER in einem weiteren Post nachträglich stellen !

LG Ma-Ma

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