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Mittelwertveränderung --> Standardabweichung?

Universität / Fachhochschule

Tags: Mittelwert, Standardabweichung, Varianz

Mathenull123 aktiv_icon

23:15 Uhr, 10.09.2012

Hallo zusammen,

irgendwie fehlt mir noch das Verständnis für die Zusammenhänge zwischen Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.

In wie weit wirken sich Veränderungen auf die anderen aus?

Folgende Aufgabe:
Aufgabe 4
In einem Betrieb beträgt das monatliche Durchschnittseinkommen €

3.200

mit einer Standardabweichung von €

600

. Es werden zwei neue Tarifverträge diskutiert:

a)

Jeder Mitarbeiter erhält €

100

mehr.

b)

Jeder Mitarbeiter erhält

2 %

mehr.
Wie würde sich jeweils das Durchschnittseinkommen, Standardabweichung und Variationskoeffizient verändern?

Wieso bleibt

z . b

. die Standardabweichung bei

a)

unverändert und bei

b)

nicht?

Lösung:
Wie man anhand der Formeln für Mittelwert und Standardabweichung unmittelbar erkennen kann, erhöht sich bei

a)

das Durchschnittseinkommen ebenfalls um €

100,

während die Standardabweichung unverändert
bleibt. Der Variationskoeffizient fällt von

\frac{600}{3200} = 18,75 %

auf

\frac{600}{3300} 18,18 %

.

Bei

b)

steigen Durchschnittseinkommen und Standardabweichung um

2 %;

der Variationskoeffizient bleibt

18,75 %

.

Vielen lieben Dank! M.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

14:46 Uhr, 11.09.2012

Hossa ;-)

Gegeben:

Durchschnittsgehalt aller MA:

\bar{x} = 3200

Standardabweichung dazu:

σ = 600

Wir wissen nicht, wie viele MA die Firma hat. Also führen wir dafür einen Parameter

N

ein. Die Gehälter der MA seien:

x_{1}

x_{2}

,...,

x_{N}

. Der Mittelwert

\bar{x}

ist dann:

\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} x_{i} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{N}}{N}

Bei a) bekommt jeder MA 100 Euro mehr Geld. Der Mittelwert ändert sich dadurch:

{\bar{x}}_{100} = \frac{(x_{1} + 100) + (x_{2} + 100) + (x_{3} + 100) + \dots + (x_{N} + 100)}{N} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{N}}{N} + \frac{N \cdot 100}{N} = \bar{x} + 100

Zur Berechnung der Varianz wird von jedem Gehalt

x_{i}

der Mittelwert

\bar{x}

subtrahiert. Das ganze wird dann "quadratisch" addiert und durch N dividiert.

V = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{2} = \frac{(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + (x_{3} - \bar{x})^{2} + \dots + (x_{N} - \bar{x})^{2}}{N}

Beachte bitte, dass nur die Abweichungen vom Mittelwert in die Varianz eingehen. Wenn alle MA 100 Euro mehr kriegen, bleiben diese Abweichungen vom Mittelwert konstant. Die Varianz ändert sich also nicht, wenn alle MA gleich viel mehr Geld erhalten. Das wird auch formal schnell klar. Jedes Gehalt

x_{i}

wurde um 100 erhöht. Der Mittelwert

\bar{x}

hat sich auch um 100 erhöht (siehe Rechnung oben). Es ändert sich an der Varianz nichts, weil für jeden Summanden im Zähler gilt:

(x_{i} - \bar{x}) = ((x_{i} + 100) - (\bar{x} + 100))

Da die Standardabweichung

σ = \sqrt{V}

gleich der Wurzel aus der Varianz

V

ist, bleibt auch die Standardabweichung

σ

ungeändert.

Der Variationskoeffizient ändert sich hier:

{VarK}_{alt} = \frac{600}{3200} = 18.75 %; {VarK}_{neu} = \frac{600}{3300} = 18.18 %

Bei b) steigen die Gehälter eines jeden MA um 2%. Wer mehr Geld verdient, bekommt mehr zusätzlich. Das ist der große Unterschied zum Fall a). Dort haben alle MA gleich viel mehr Geld bekommen, unabhängig davon, wie viel sie vorher verdient haben. Rechnen wir die relative Erhöhung um 2% bei b) durch. Der Mittelwert ändert sich wie folgt:

{\bar{x}}_{2 %} = \frac{x_{1} \cdot 1.02 + x_{2} \cdot 1.02 + x_{3} \cdot 1.02 + \dots + x_{N} \cdot 1.02}{N} = \frac{(x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{N}) \cdot 1.02}{N} = \bar{x} \cdot 1.02

Bei der Bestimmung der Varianz fällt der Faktor

1.02

nicht heraus. Für die einzelnen Summanden gilt nämlich:

(x_{i} - \bar{x}) \to (x_{i} \cdot 1.02 - \bar{x} \cdot 1.02) = (x_{i} - \bar{x}) \cdot 1.02

Daher wächst die Varianz um den Faktor

1.0 2^{2}

und die Standardabweichung (=Wurzel aus der Varianz) um den Faktor

1.02

.

Bei der relativen Erhöhung um 2% steigen also sowohl der Mittelwert als auch die Standardabweichung um 2% an, so dass der Variationskoeffizient konstant bleibt.

Wie gesagt, der Unterschied zwischen den beiden Fällen liegt in der Art, wie die Erhöhung durchgeführt wurde. In a) erhalten alle gleich viel mehr Geld, unabhängig davon, was sie bisher verdient haben. In b) erhalten alle 2% mehr Geld. Jemand mit doppeltem Gehalt erhält also auch das Doppelte mehr. Dadurch vergrößert sich die Standardabweichung.

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